Вычисление обратной матрицы.
Теорема. Если какая-либо цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований переводит квадратную матрицу в единичную матрицу , то матрица обратима и эта же цепочка преобразований переводит матрицу в матрицу .
Доказательство. Предположим, что есть цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований, переводящая квадратную матрицу в единичную матрицу . Тогда, .
Отсюда следует, что матрица обратима и .
Из последнего равенства следует, что цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований переводит матрицу в матрицу .
Правило нахождения обратной матрицы: Для нахождения матрицы, обратной к -матрице , надо прямоугольную матрицу при помощи цепочки неособенных строчечных элементарных преобразований привести к виду ; получающаяся при этом матрица является обратной к матрице .
Подстановки.
(Лемма 20.)
Пусть , где – натуральное число.
Определение. Подстановкой множества называется инъективное отображение множества на себя.
Всякое отображение множества на себя удобно записывать в виде таблицы . Порядок чисел в первой строке несущественен, его можно как угодно изменить. Однако, при этом, необходимо, чтобы для всякого числа число было записано непосредственно под .
Определение. Множество всех подстановок множества обозначается . Элементы множества называются подстановками степени .
Если , то:
- инъективное отображение;
- сюрьективное отображение.
Так как - конечное множество, то из условия 1. следует условие 2. и наоборот.
Произведение двух подстановок определяется как композиция отображений , т.е. . Таким образом, , для .
Теорема. Алгебра - группа.
Доказательство. Так как композиция двух инъективных отображений множества на себя, является инъективным отображением множества на себя, то операция умножения на множестве является алгебраической.
Обозначим через тождественное отображение множества на себя. Тогда - единица множества .
Операция умножения на множестве является ассоциативной, на основании ассоциативности композиции отображений.
Наконец, для существует , которая является обратным элементом.
Определение. Группа - называется симметрической группой степени n и обозначается .
Определение. Перестановкой называется всякое упорядоченное расположение элементов множества .
Определение. Два символа перестановки образуют инверсию, если левый символ больше правого символа.
Обозначим через - число всех инверсий перестановки .
Определение. Перестановка называется четной, если – четная, в противном случае нечетная.
Определение. Подстановка называется четной, если четности ее перестановок-строк совпадают.
Определение. Подстановка вида называется транспозицией.
Лемма. Любая транспозиция является нечетной подстановкой.
Доказательство. Пусть - транспозиция, переводящая в . Будем полагать, что . Легко видеть, что пара элементов может образовать инверсию, если хотя бы один из ее элементов есть или .
Если или , то среди пар и нет инверсий.
Если , то среди пар инверсиями являются следующие: , всего инверсий.
Если , то среди пар инверсиями являются следующие: , всего инверсий.
Итак, транспозиция содержит всего инверсий, следовательно - нечетная подстановка.
Определение. Знаком подстановки называется число равное .
Определители.
(Лекция 21.)
Пусть где - коммутативное кольцо или поле.
Рассмотрим множество всех произведений элементов матрицы , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Всякий элемент множества содержит сомножителей и может быть записан в виде .
Такому элементу поставим в соответствие подстановку .
Верно и обратное, каждой подстановке соответствует единственный элемент множества , а именно .
Таким образом, отображение является взаимно однозначным отображением.
Определение. Определителем матрицы называется сумма .
Сумма содержит слагаемых, причем каждой подстановке в этой сумме соответствует в точности одно слагаемое.
Определитель матрицы обозначается: .
Если , то .
Если , то .
Если , то .