Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
9. Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)
где
-
нормальный вектор плоскости.
В
векторном виде
.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;
2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;
3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;
4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;
5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;
6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;
7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;
8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;
9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;
10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;
11) z = 0 - плоскость Oxy;
12) y = 0 - плоскость Oxz;
13) x = 0 - плоскость Oyz.
10.
Угол между плоскостями не зависит от
выбора секущей плоскости.
Доказательство.
Пусть есть две плоскости α и β,
которые пересекаются по прямой с.
проведем плоскость γ перпендикулярно
прямой с. Тогда плоскость γ пересечет
плоскости α и β по прямым a и b соответственно.
Угол между плоскостями α и β равен углу
между прямыми a и b.
Возьмем другую
секущую плоскость γ`, перпендикулярную
с. Тогда плоскость γ` пересечет плоскости
α и β по прямым a` и b` соответственно.
При параллельном переносе точка
пересечения плоскости γ с прямой с
перейдет в точку пересечения плоскости
γ` с прямой с. при этом по свойству
параллельного переноса прямая a перейдет
в прямую a`, b – в прямую b`. следовательно
углы между прямыми a и b, a` и b` равны.
Теорема доказана.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
.
Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
ïï
.Это
условие выполняется, если:
.
11. . Свойства определителей
Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).С использованием индексной нотации определитель матрицы может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
12. Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
13. Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно).
14. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.На втором этапе осуществляется так называемыйобратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки. Метод Гаусса требует порядка O(n3) действий.