5 Производная по направлению и градиент
Пусть
и
ненулевой
вектор(направление),
производной
в
т.
в направлении
наз. число
, если
предел .
Можно
считать что
орт. Положим
,
а
)
производная в нуле справа.
По теореме о производной сложной функции, получим
скалярное
произведение
Вектор
наз. градиентом
в
т.
.
проекция
градиента на
.
Если
орт градиента, то
.
Т.о.
дает направление наибольшего возрастания
,
а его длина = скорости возрастания.
6 Касательная плоскость
Опр. Пусть задана в окрестности U т. , S ее график,
и
,
,
плоскость
, проходящая через
наз. касат. к S
в т.
если
при
условии, что
.
Теорема о касат. плоскости.
S имеет касат. плоскость в т. дифф. в т. , при этом уравн.
имеет
вид:
вектор
,
и смотрит вверх,
а
уравн. нормали
Пр.
.
Экстр. фун. двух переменных
Опр.
Пусть
опред. в открытом множ.
R2
,
наз. т. мин., если
из некоторой окр. т.
выполняется неравенство
,
при этом
наз. мин. значением, если неравенство
является строгим, то
наз. т. строгого мин. Подобным образом
опред. т. макс. и макс. значение. Экстремум
объединяет мин. и макс.
Теорема.
Если
т. экстремума
и
и
,
то
Опр.
наз. стац. т.
если
.
Т.о.
если
т. гл. экстремума, то
стац. т., обратное неверно.
Пр.
,
(0, 0)
стац. т. но в ней нет экстремума .
Дост. условия экстр.(n=2)
Пусть
2 раза непр. дифф. в окр. стац. т.
,
положим
,
1)
если
,
то
т. экстр., мин. при
и макс.
при
;
2)
если
,
то в т.
нет экстр.
3)
если
,
то необх. дополнительное исследование
Квадратичные формы
Кв.
формой в Rn
наз. выраж. вида
,
матрица
кв. формы q,
q
наз. положительно опред. если
,
q
наз. отрицательно опред. если
q наз. знакопеременной если она принимает значения как >0 так и <0.
Пр.
Обозначим
через
диагональные миноры матрицы A
Критерий Сильвестра определенности кв. формы:
(С1)
q
положительно опред.
все
(С2)
q
отрицательно опред.
и т.д.
Достаточные условия экстремума(n≥2)
Пусть
фун.
2 раза непр. дифф. в окр. стац. т.
,
и
q
кв. форма с коэфф.
,
(Э1)
если q
положительно опред., то
т. min
(Э2) если q отрицательно опред., то т. max
(Э3) если q знакопеременная, то в т. нет экстр.
Пр.
Неявные функции
1 НФ одной переменной
Опр.
Пусть
опред. в окр. V
т. x0
, она наз. неявно заданной уравнением
если
.
Здесь
фун. двух переменных, задана в круге U
с центром в т.
, где
.
Пр.
.
Теорема. Пусть
1)
,
непр.
в U,
2)
,
3)
,
тогда
непр. дифф. НФ
и
2 НФ двух переменных
Опр.
Пусть фун.
определена
в окрест. V
т.
,
она наз. неявно заданной уравнением
если
.
Здесь
фун. трех переменных , задана в шаре U
с центром в т.
,
где
.
Пр. y=(1 x2 y2 )1/2 , x2 + y2 + z2 1=0, т. (0, 0, 1).
Теорема. Пусть (n≥2)
1) y , xi непр. в U(X0 , y0) при всех i ,
2) y (X0 , y0) 0,
3) (X0 , y0)= 0,
тогда непр. дифф. НФ y=f(X) и fxi(X)= xi /y
Приложение: касат. плоскость к поверхности заданной неявно.
,
,
x(M0 )(x x0 )+ y(M0 )(y y0 )+ z(M0 ) (z z0 )=0 касательная плоскость к S в т. M0 ,
(x x0 )/ x(M0 )= (y y0 )/ y(M0 )= (z z0 )/ z(M0 ) уравнение нормали.
Комплексные числа
1 КЧ в алгебраической форме
Опр.
КЧ наз. упорядоченная пара действительных
чисел, множ. всех КЧ обозначается через
C.
Так что zC
означает, что
, где
.
Два
КЧ наз. равными,
,
если
и
.
Сумма и произведение определяются по формулам
,
КЧ
вида
отождествим с действительными числами
a
:
.
Положим
,
тогда
.
алгебраическая форма КЧ.
,
,
.
Деление КЧ.
Пусть
, тогда
, при этом z
наз. частным, обозначается в виде дроби
и
выч. формуле
.
Модуль и сопряжение.
Пусть
, модулем z
наз число
,
сопряженным к z
наз. число
2 Тригонометрическая форма КЧ
,
,
Равенство
в ТФ :
и
Умножение и деление в ТФ
,
Формула
Муавра
Показательная форма КЧ
положим
,
тогда всякое КЧ
можно
записать в показательной форме
3 Извлечение корня из КЧ
Пусть
и
, число
наз. корнем n-ой
степени из z
если
,
при
этом пишут
.
Теорема.
Пусть
и
, тогда
ровно n
корней n-ой
степени из z,
т.е. решений уравнения
,
которые даются формулой
,
.
Примеры
4 Основная теорема алгебры и ее следствия
Теорема. Всякий полином степени n≥1 с комплексными коэфф. имеет хотя бы один корень в C.
Следствия.
1) Всякий полином степени n≥1 с комплексными коэфф. разл. в C целиком на лин. множители.
2) Всякий полином степени n≥1 с действительными коэфф. разлагается в R на неприводимые множители не выше второй степени.
47 КЧ в алгебраической форме, модуль и сопряжение
48 Тригонометрическая форма КЧ, формула Муавра
49 Извлечение корня из КЧ