- •Естественный способ задания движения точки
- •Равнопеременное криволинейное движение
- •Вопрос № 13Вывести формулы равномерного и равнопеременного вращательного движения твердого тела. Начертите график равнопеременного вращательного движения
- •Вопрос № 24
- •Вопрос №25. Дайте определение мгновенного центра ускорений. Как определяется его положение? Как оп-ределяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра ускорений.
- •Вопрос №26. Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.
Вопрос №1. Опишите способы задания движения точки и связь между ними. Как найти уравнение траектории точки?
Движение точки в пространстве определяется тремя основными способами: векторным, координатным и естественным. Векторный способ задания движения применяется при теоретических исследованиях, координатный и естественный употребляются преимущественно при решении задач.
Векторный способ задания движения точки
Выберем некоторый неподвижный центр О и проведем из этого центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r (рис. 2.1). При движении точки М радиус-вектор r изменяется по величине и по направлению. Каждому моменту времени t соответствует определенное значение r
Следовательно, радиус-вектор г однозначно определяет, положение точки М. Таким образом, чтобы определить "движение точки, нужно задать ее радиус-вектор в виде однозначной и непрерывной функции времени:
r=r(t);
Уравнение (1) определяет положение точки М в пространстве в произвольный момент времени и, следовательно, уравнение (1) определяет закон движения точки М. При векторном способе задании движения траекторией точки будет годограф радиус-вектора r.
Координатный способ задания движения точки
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат. Положение движущейся точки М определяется координатами х, у, z (рис. 2.2). Если координаты точки заданы как однозначные функции времени x = x(t), y=y(t), z = z(t), (2)
то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Уравнения (2) определяют закон движения точки и называются уравнениями ее движения. С математической точки зрения уравнения (2) представляют собой параметрические уравнения траектории точки. Чтобы найти уравнение траектории в форме зависимостей между координатами точки М, нужно из уравнений (2) исключить время, т.е. параметр t. Решая, например, последнее уравнение из (2) относительно t , найдем t = ф (z). Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим х = х[ф(z)]; y=у[ф(z)]-
Эти уравнения являются уравнениями поверхностей, пересекающихся вдоль траектории точки.
Если точка движется в плоскости Оху, ее движение определяется двумя уравнениями: x = x(t), y = y(t).
Если же точка движется по прямой, ее положение можно определить одной координатой, например: х = x(t).
Кроме декартовой системы координат, употребляются и другие координатные системы. Например, на плоскости можно пользоваться полярной системой координат (р, ф). В этих координатах уравнения движения точки имеют вид: р = р(t), Ф = ф(t)
где р - полярный радиус; ф - угол между полярной осью и полярным радиусом.
Между координатным и векторным способами задания движения точки существует связь. Это видно, если записать разложение радиус-вектора r по ортам i, j, k декартовой системы координат: r = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (7)
Равенство (7) устанавливает зависимость радиус-вектора точки М от времени и решает вопрос о переходе от координатного способа задания движения точки к векторному.
Естественный способ задания движения точки
Этот способ задания движения точки применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчета, известна. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку А и примем ее за начало отсчета (рис. 2.3).
Д алее, рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию, т.е. положительное направление отсчета расстояний s = AM. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатной s , равной расстоянию от точки А до движущейся точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точки М криволинейная координата s будет изменяться с течением времени, т. е. S = s(t). (8)
Зная уравнение (8), можно определить положение точки в каждый момент времени. Уравнение (8) называется уравнением движения, или законом движения вдоль заданной траектории.
Рассмотрим связь между естественным и координатным способами задания движения точки. Для перехода от координатного способа задания движения к естественному необходимо:
определить уравнение траектории точки,
положение точки в начальный момент времени и
закон движения точки по ее траектории.
Как определить уравнение траектории, нам уже известно. Для определения положения движущейся точки в начальный момент времени (t = 0) необходимо в уравнения (2) подставить / = 0. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся известной из математического анализа формулой длины дуги кривой
(9)
В теоретической механике дифференцирование по времени принято обозначать точкой над дифференцируемой функцией. Перепишем формулу (9) в этих обозначениях. s = ± (10)
Знак плюс в формулах (9), (10) берется в том случае, когда точка М движется в сторону с положительного отсчета криволинейной координаты Если направление движения точки по траектории изменяется, то знак корня может быть различным для различных интервалов времени. Это изменение знака может быть при колебательном движении точки.
Вопрос № 2
Вывести формулу для определения скорости точки при векторном способе задания её движения
Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиус-вектором r(t), а в момент - радиус-
вектором (рис. 2.4). Тогда перемещение точки М за
промежуток времени
Б удем считать, что промежуток времени дел.t настолько мал, что с достаточной степенью точности можно предполагать перемещение точки М в положение М1, происходящим равномерно и прямолинейно. В этом случае скорость точки М можно приближенно вычислить так:
(1)
Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный момент времени, необходимо в формуле (1) перейти к пределу при стремлении промежутка времени ' к нулю, т.е.
(2)
Этот предел представляет собой первую векторную производную по времени от радиус-вектора точки по времени. Следовательно, скорость точки в данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от радиус-вектора точки по времени
(3)
Как следует из формул (2) и (3), вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.
Вопрос №3
Вывести формулы определения скорости точки при координатном способе задания её движения
Рассмотрим движение точки относительно прямоугольной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точки заданы как функции времени:
(1)
Разложим радиус-вектор r по ортам декартовой системы координат:
(2)
З ная, что вектор скорости V равен первой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разложение скорости по ортам i,j, к:
(3)
С другой стороны, разложение вектора скорости V по ортам i,j, k можно представить так:
(4)
где Vх., Vх , Vx –проекции вектора скорости V на оси координат. Сравнивая формулы (3) и (4), находим
(5)
Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.
Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки
на координатные оси равны скорости проекции этой точки те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его модуль:
(6)
Для определения направления вектора скорости воспользуемся направляющими косинусами:
(7) где Vx, Vy, Vz, и V определяются равенствами (5) и (6).
Вопрос № 4
Вывести формулу для определения скорости точки при естественном способе задания её движения
Определим скорость точки, предполагая, что ее движение задано естественным способом. Поэтому будем полагать, что известны траектория движения и закон движения точки по траектории s = s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r (t) Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой S, то радиус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда
(1) Найдем теперь вектор скорости V точки:
(2)
Известно, что Далее,
так как направлен пределе
(при дел. S-»0) совпадает с касательной к
траектории в точке М, то вектор есть
единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направленный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обозначая орт касательной Т°, запишем формулу (2) в виде
(3)
Эта формула определяет вектор скорости при естественном способе задания движения точки Умножая скалярно обе части равенства (3) на т° и учитывая, что получим
(4)
т.е. проекция вектора скорости точки на направление касательной к траектории равна первой производной по времени от криволинейной координаты s пo времени. Тогда формулу (3) можно записать так:
(5)
Из формулы(5) следует что модуль скорости V=|Vt|.
Если Vt > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и VT=V Если же Vт < 0, точка движется в отрицательном направлении и Vт = — V. Таким образом, модуль вектора скорости IVI (или V) точки равен модулю ее проекции на направление касательной
(6)
В качестве примера применения формулы (6) рассмотрим скорость точки М при ее движении по окружности радиуса R (рис. 2.7). Скорость точки М в случае ее движения в положительном направлении отсчета расстояний будет иметь численное значение
(7)
так как Величина (8)
называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R. Таким
образом, при движении по окружности (9)
Направлена скорость по касательной к окружности, следовательно, перпендикулярно радиусу ОМ.
Вопрос № 5
Вывести формулу для определения ускорения точки при векторном способе задания её движения
Ускорение - физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки во времени.
Пусть точка в момент времени t находится в положении М и имеет скорость V (t), а в момент t1= t + дл.t приходит в положение М1 и имеет скорость V1 (рис. 2.8). Тогда за промежуток времени At = t1— t вектор скорости получает векторное приращение Дл = V1—V, которое определяет изменение вектора скорости и по величине, и по направлению. Для определения приращения скорости дл.V перенесем вектор V1 параллельно своему направле нию в точку М. Далее, соединпе концы векторов V и V1, получим дл.V. Разделив вектор дл.V на соответствующий промежуток времени дл.t, получим вектор
(1)
который называется вектором среднего ускорения за промежуток времени t. Вектор среднего ускорения характеризует особенности движения точки тем точнее, чем меньшему промежутку времени он соответствует. Поэтому естественно рассмотреть предел, к которому стремится среднее ускорение, если соответствующий промежуток времени At стремится к нулю. Этот предел называют ускорением точки в данный момент времени:
(2)
Т ак как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то
(3)
Таким образом, ускорение точки в данный момент времени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.
Установим теперь положение вектора ускорения а относительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами V, V1, AV , при At—0) будет поворачиваться вокруг вектора V, т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, ив пределе займет определенное предельное положение. Это предельное положение плоскости МАВ называется соприкасающейся плоскостью в точке М траектории. Для плоской кривой эта плоскость есть плоскость самой кривой.
Как видно из рис. 2.8, вектор среднего ускорения аср направлен так же, как и AV, т.е. в сторону вогнутости траектории точки, и все время находится в плоскости треугольника МАВ.
Вопрос № 6
Вывести формулы для определения ускорения точки при координатном способе задания её движения
Рассмотрим движение точки М относительно неподвижной прямоугольной декартовой системы координат (см. рис. 2.5). В этом случае ее движение задано следующим образом:
(1)
Разложим радиус-вектор точки по ортам осей Oxyz: (2)
Дифференцируя равенство (2) дважды по времени, получим(3)Или, обозначая вторые производные по-времени двумя точками, получим разложение ускорения по осям декартовой системы координат в следующем виде: (4) С другой стороны, известно, что (5)Сравнивая равенства (4) и (5), находим формулы для вычисления проекций ускорения на оси декартовой системы координат: (6)Так как Vx= х, Vy= у, Vz= z, то формулы (6) можно представить еще и так: О)
Т.е. проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки.
По этим проекциям определяем величину и направление вектора ускорения:(8) (9)Если во все время движения точка остается в одной плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах нужно положить z = 0.
Вопрос № 7
Дайте определение каждой из осей естественного координатного трехгранника и радиуса кривизны траектории в данной точке
Рассмотрим пространственную кривую. Предельное положение секущей, проходящей через точки М и M1 кривой, когда точка M1 стремится к точке М, называется касательной к кривой в данной точке М. Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Геометрическое место нормалей к данной кривой в данной точке называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.
Обозначим единичные векторы: касательной через т°, главной нормали n° и бинормали b°. Через эти векторы проходят плоскости: (т°, n0) - соприкасающаяся, (n0, Ь°) - нормальная и (b°, т°) - спрямляющая. Три взаимно перпендикулярных направления, которые определяются векторами т°, n° и b°, образуют естественную систему координат, или так называемый естественный, или подвижный, трехгранник. Направление т°, n0 и b° определяются так же как направление координатных осей, т.е. по
правой системе, при этом единичный вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой (рис. 2.9).
Проведем теперь в двух точках кривой М и М1 единичные векторы касательных т° и т1° .Угол между этими касательными называется углом смежности. Обозначим этот угол через дл.8, а длину дуги ММ1 через дл,s (рис. 2.10). Предел отношения дл.8 и дл.s при дл.s-*0, т.е. (1)называется кривизной кривой в данной точке М.
Найдем кривизну окружности радиуса R. Возьмем на окружности дугу АВ = дл.s и проведем в точках А и В касательные к окружности (рис. 2. 11). Тогда(2)
Отсюда следует, что окружность представляет собой кривую линию постоянной кривизны, равной обратной величине ее радиуса. Кривизна произвольной кривой вообще непостоянна. Если через три точки М, М1 и М2 кривой провести окружность, то в пределе при приближении точек М1 и M2 к М получим предельную окружность, лежащую в соприкасающейся плоскости, которая называется кругом кривизны (рис. 2.12).
Центркруга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны кривой в точке М. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны данной кривой е данной точке.Обозначая радиус кривизны буквой р, получим
(3)
Как следует из формулы (2), радиус кривизны окружности равен ее радиусу. Очевидно, что кривизна прямой линии равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.
Вопрос №8,9 Докажите формулы разложения ускорения по естественным осям координат. 9. Запишите формулы касательного и нормального ускорения точки и проведите их анализ.
Вектор скорости точки можно представить в виде v =vt*t°. (1)
В правой части этого равенства с течением времени изменяются оба множителя: и проекция вектора скорости на касательную vт, и направление единичного вектора t°. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим
(2)
= - t° +vt —
dt dt dt
(3)
d t°
Вектор , входящий в равенство (3), всегда направлен в
ds
сторону вогнутости траектории точки и, как видно из рис. 2.13, лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, приращение вектора t° (см. рис. 2.13) Дл t° = t°1 - t° лежит в плоскости треугольника МАВ. Если
(4)
а это есть условие перпендикулярности векторов сомножителей.
Т аким образом, рассматриваемый вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен вектору t°. Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны, т.е. по направлению орта п°. Поэтому
Из треугольника МАВ находим модуль этого вектора
П ереходя в последнем равенстве к пределу при As—>0, найдем поэтому
Тогда окончательно
(6)
Подставляя найденное выражение вектора из (6) в равенство (2) и учитывая что , получим (7)
Формула (7) представляет собой разложение ускорения точки М по ортам естественного трехгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям т° и п° соответственно равны (рис. 2.14)
(8)
П роекция ускорения на направление касательной (9) называется касательным, или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль (10) называется нормальным ускорением.
Т ак как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Модуль ускорения, на основании формул (9) - (10), будет
Угол между вектором а и главной нормалью можно определить так:
Анализ формул (9) и (10) показывает, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение — изменение скорости по направлению.
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Если vt и аt одного знака, движение называется ускоренным, если же vt и аt разных знаков - замедленным. При аt = 0 движение равномерное.
Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении (р = бескон-ть), в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, когда скорость точки обращается в нуль.
В заключение отметим, что модули тангенциального и нормального ускорений также можно определить и в случае задания движения точки координатным способом.
В самом деле, вспоминая определения модулей скалярного и векторного произведений и представляя единичный вектор
касательной, следующей формулой t°=v/|v|запишем
З начения этих выражений определяются непосредственным дифференцированием закона движения точки, заданного координатным способом.
Вопрос № 10
Вывести формулы равномерного и равнопеременного криволинейного движения точки. Начертите графики этих движений
Разложение ускорения по естественным осям координат удобно для анализа и классификации различных случаев движения точки.
Равномерное прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорение равно нулю (а = 0), то такое движение называется равномерным и прямолинейным. Скорость точки в этом случае не изменяется ни по величине, ни по направлению.
Прямолинейное переменное движение. Если во время движения точки ее нормальное ускорение равно нулю, то это движение прямолинейное. В самом деле, при а это значит, что р = ос, т.е. траекторией точки является прямая.
Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки ее тангенциальное ускорение равно нулю (ат=0), то проекция скорости на касательную не изменяется. В этом случае точка движется равномерно по кривой и ее полное ускорение равно нормальному, т.е. а = аn.