К Г Э У

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Практикум по курсу ен.Р.1 «Математические методы теории надежности» Казань-2009

Практическое занятие № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЛУАТАЦИИ

Цель занятия:

1. Определить показатели надежности и модели распределения времени безотказной работы газотурбинных двигателей;

2.Изучить основные метода обработки статистических данных об отказах и повреждениях газотурбинных двигателей.

В соответствии с ГОСТ 27002-63 надежность - это свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные параметры в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени, или требуемой наработки.

Основными показателями надежности являются:

• вероятность безотказной работы Р(t);

• интенсивность отказов (t);

• плотность распределения вероятности безотказной работы f(t);

• среднее время безотказной работы или наработка на отказ Т.

И зучение опыта эксплуатации показало, что очень многим техническим устройствам свойственны три типичных периода их эксплуатации характеризующимися различным уровнем интенсивности отказов и различными закономерностями их проявления.

Эти периоды следующие:

I - приработка (начальный период эксплуатации);

II - период нормальной эксплуатации;

III - период износа (или старения).

Изменения интенсивности отказов по времени наработки (t) имеет характерный вид (рис.1.1).

Повышенный уровень интенсивности отказов в начальный период наработка объясняется тем, что происходит приработка отдельных элементов изделия, устранение отдельных дефектов, связанных с недостаточным контролем. Снижение интенсивности отказов в первый период эксплуатации возможно путем совершенствования контроля и повышения эффективности заводских испытаний.

Причиной отказов в период нормальной эксплуатации является, главным образом, несовершенство конструкции, попадание изделия в непредусмотренные условия. Интенсивность отказов в этот период не зависит от времени наработки, а определяется совершенством конструкции и условиями эксплуатации.

Третий участок  - характеристики (период старения изделия), на котором наблюдается возрастание интенсивности отказов, связан со старением изделия и его составных частей. Замена износившихся элементов и ремонт изделий является основным направлением повышения надежности в этот период.

На практике определение закономерности изменения надежности часто начинается с построения графиков  - характеристик на основе статистических данных. Это позволяет затем перейти и к определению других характеристик (f(t) и P(t)), связанных с  (t).

Для того чтобы описать характеристики надежности математическими моделями и иметь возможность их анализа, важно полученные эмпирические зависимости распределения времени безотказной работы аппроксимировать теоретическими зависимостями. Известно, что период нормальной эксплуатации описывается экспоненциальным законом распределения; период износа - нормальным законом, а период приработки - законом Вейбулла.

На практике могут встречаться случаи, когда закономерности изменения надежности описываются и другими распределениями. Рассмотрим кратко перечисленные законы, аппроксимирующие изменение надежности по времени наработки.

1. Экспоненциальный закон. Используя выражение для вероятности безотказной работы и учитывая, что нормальному периоду эксплуатации соответствует условие =const, можно получить выражение .

В теории вероятностей это выражение получило название экспоненциального закона и нашло широкое использование в теории надежности. С его помощью можно определить и другие характеристики надежности для периода нормальной эксплуатации. Плотность распределения времени безотказной работы .

Математическое ожидание, равное средней наработке на отказ: .

2. Распределение Вейбулла. Двух параметрическое распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное и имеет вид: ,

где m - асимметрия распределения, a t₀- масштаб

При и m = 1 закон Вейбулла превращается в экспоненциальный закон. Другие характеристики надежности с помощью закона Вейбулла определяются по следующим формулам ,

3. Нормальное (гауссово) распределение. Используется при описании постепенных отказов и имеет вид: ,

где параметр Т₀ является математическим ожиданием распределения в теории надежности и соответствует значению средней наработки на отказ: , где N -количество испытываемых двигателей;

среднеквадратическое отклонение ,

Вероятность безотказной работы: ,

Интенсивность отказов: .

Здесь интегралы определяются с помощью функции Лапласа: , где

Для определений Ф(t) составлены таблицы (табл.1 приложения).

Знание моделей распределения времени безотказной работы, имеет в практических задачах большое значение, т. к. позволяет оценивать и прогнозировать уровень надежности на этапах проектирования, испытаний и производства, а также уточнять величину назначенного ресурса, сроки и содержание регламентных работ при эксплуатации. Обычно, определение моделей отказов производится на основе экспериментальных характеристик, полученных при обработке статистического материала, и сводится к задаче определения вида и параметров функции распределения наработки на отказ.

Обработка статистических данных проводится в следующем порядке:

1. Устанавливается число N однотипных изделий, проходящих испытания в течение определенного периода.

2. Определяется число n изделий, отказавших в течение заданного периода испытаний

3. Полученные из испытаний значения наработки до отказа и изделий t₁ , t₂, t₃, .... t_n располагаются в ряд в порядке их возрастания (строится вариационный ряд).

4. Интервал наработки разбивается на Z разрядов. Каждый разряд ограничивается величиной t= t_i+1-t_i, Значения t_i могут быть равны между собой. Необходимо, чтобы в каждом разряде было не меньше двух отказавших изделий.

5. Строится расчетная таблица, в которую заносятся результаты расчета статистических характеристик надежности *(t), f*(t) и Р*(t)(табл.1.1).

Таблицa 1.1

Основные параметры	Интервалы
	I	II	III	…	i	…	z
	t0-t1	t1-t2	t2-t3	…	ti-ti+1	…	TZ-1-tZ
ti=ti+1-ti	t1	t2	t3	…	ti	…	tz
ni	n1	n2	n3	…	ni	…	nz
				…		…
				…		…
				…		…

6. Строятся ступенчатые характеристики (t) -гистограммы и проводится их анализ, в результате чего делается предположение о соответствии известным теоретическим видам распределений.

7. При выборе предполагаемого закона распределения учитываются следующие особенности протекания гистограмм:

• для экспоненциального закона зависимость *(t) практически постоянная или мало изменяется по времени;

• для распределения Вейбулла зависимость *(t) имеет возрастающий или убывающий характер;

• для нормального закона зависимость f(t) имеет характерный экстремум в средней части.

8. Определяются теоретические значения параметров надежности (равные статистическим характеристикам) например, для нормального закона Т*=Т и *=, для экспоненциального - *=, для закона Вейбулла m*=m, t*₀=t₀.

9. С помощью найденных законов определяются теоретические характеристики (t), f(t), P(t). Данные расчета сводятся в табл.1.2.

Таблица 1.2

Интервалы
I
II
…	…	…	…	…	…
i
…	…	…	…	…	…
z

10. Производится сравнение эмпирического закона распределения f*(t) с выбранным теоретическим распределением при помощи критерия согласия ² (хи - квадрат).

11. Определение величины критерия ² производится в соответствии с таблицей 2 приложения. Величина , является мерой расхождения, теоретического и эмпирического распределений.

Для ² -распределения составлены таблица (см. табл.2 приложения), пользуясь которыми можно для каждого значения ²- и числа степени свободы r найти вероятность Р того, что полученное в результате статистической обработки значение ² будет не больше меры расхождения U теоретического и эмпирического распределений. Если величина Р мала (Р < 0.1), то гипотеза совпадения отвергаетcя и подбирается более подходящий для описания статистических данных закон распределения. В случае больших значений Р гипотеза является правдоподобной, т.е. принятый закон распределения соответствует опытным данным.

В данной работе в качество опытных данных используются статистические данные, полученные в результате эксплуатации одного из отечественных ТРДД.

Рассматриваются данные по отказам, приводящим к досрочному снятию двигателя из-за различных повреждений в камере сгорания. Исходные данные по отказам дли получения эмпирических зависимостей характеристик надежности приведены в табл.1.3.