- •Четырехполюсники и их уравнения
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Формы записи уравнений четырехполюсника. Матрицы четырехполюсника.
- •5. Симметричный четырехполюсник.
- •Электрические фильтры
- •1. Назначение и типы фильтров.
- •2. Основное неравенство фильтров.
- •Характеристическое сопротивление для т- и п-образной схем
2. Основное неравенство фильтров.
Получим условие, определяющее полосу пропускания фильтра – так называемое основное неравенство фильтра.
Уравнения формы А симметричного четырехполюсника в гиперболической форме имеют вид:
Коэффициент .
Результат получен, исходя из выражений:
Получим коэффициент А11 по опытам холостого хода и короткого замыкания для Т- и П-образной схемы фильтра.
При холостом ходе на вторичных зажимах I2=0 и первое уравнение формы А имеет вид:
отсюда
Для Т-образной схемы
и .
Для П-образной схемы
и .
За счет принятых обозначений сопротивлений плеч выражение для А11 получилось одинаковым для Т- и П-образной схемы фильтра.
Сравнивая выражения для А11 в гиперболической форме и полученный результат, имеем .
Для идеальных реактивных фильтров отношение является вещественной величиной, поэтому , а .
В зоне прозрачности и ,
тогда .
Поскольку то
откуда
или .
Это и есть основное неравенство реактивных фильтров (условие пропускания реактивных фильтров), которое выполняется лишь тогда, когда и имеют различный характер. Если в последовательном плече включена индуктивность, то в параллельном должна быть включена емкость и наоборот.
Граничные частоты полосы пропускания (частоты среза) определяются из условий
и .
Частоты среза могут быть получены по частотной характеристике входного сопротивления фильтра, нагруженного согласованным сопротивлением.
3. Характеристическое сопротивление фильтра
Для симметричного четырехполюсника (фильтра) согласованное сопротивление .
Определяя для Т- и П-образного фильтра сопротивления холостого хода и короткого замыкания, легко получить выражение для согласованных сопротивлений:
В полосе пропускания фильтра выражение всегда является вещественной положительной величиной; произведение - также вещественная положительная величина. Поэтому в полосе пропускания характеристическое сопротивление является активным.
4. Фильтры типа К
Реактивные фильтры, удовлетворяющие условию (т.е. произведение комплексных сопротивлений плеч во всем диапазоне частот постоянно), называются фильтрами типа К.
Учитывая, что сопротивления плеч и имеют разный знак (разный характер элементов), то и условие пропускания фильтра принимает вид:
Характеристическое сопротивление для т- и п-образной схем
На рис. 4 и рис. 5 представлены схемы фильтров нижних частот, верхних частот, а на рис. 6 и рис. 7 – их частотные характеристики.
Характеристики таких фильтров с точки зрения физических процессов легко объяснить на основе поведения сопротивлений емкости, индуктивности, параллельного и последовательного контура в зависимости от частоты.
Преимуществом фильтров типа К является их простота, а также рост коэффициента затухания по мере удаления от граничной частоты (частоты среза) полосы пропускания.
Недостатки:
Резкое изменение характеристического сопротивления в зависимости от частоты в полосе прозрачности, вследствие чего согласование фильтра с нагрузкой осуществляется лишь в ограниченной части полосы пропускания.
Недостаточная крутизна нарастания затухания вблизи граничной частоты, что не обеспечивает четного разделения частот.
5. Фильтр нижних частот типа К
На примере фильтра нижних частот рассмотрим получение частоты среза, частотных зависимостей, характеристического сопротивления и расчет параметров фильтра.
Основное неравенство для фильтра нижних частот имеет вид:
Отсюда граничные частоты (частоты среза):
Для получения частотных зависимостей рассмотрим соотношение .
Для ФНЧ: .
В зоне прозрачности и , тогда
и (А)
На левой границе полосы пропускания и .
На правой границе полосы пропускания и .
В зоне затухания и , но так как , то и коэффициент фазы может иметь значения . Так как на частоте среза , то и во всей зоне затухания , и равенство в зоне затухания принимает вид:
.
Отсюда
(В)
По полученным формулам А и В строятся зависимости и для фильтра нижних частот.
Характеристическое сопротивление фильтра нижних частот:
,
.
В зоне прозрачности при можно считать, что . Таким образом согласованное сопротивление нагрузки для фильтра нижних частот .
Для расчета фильтра нижних частот задаются сопротивлением нагрузки Rн и граничной частотой с.
В основе расчета лежат соотношения:
Перемножая эти соотношения, получим:
откуда
Разделив исходные соотношения, друг на друга, получим:
откуда
Заметим, что в реальных фильтрах за счет наличия активных сопротивлений в катушках индуктивности и конденсаторах частотные зависимости несколько отличаются от расчетных. Кроме того, различие между расчетными и фактическими соотношениями обуславливается нарушением условия Rн=Zc, которое, как видно из графиков Zc(), делается все более и более несправедливым по мере приближения к граничной частоте.