1.Работа при вращательном движении твердого тела. Согласно определению работы имеем:

A = F·ds = F_·ds. 

Поскольку ds = r·d, то получим следующее выражение для работы:

A = F_·r·d = M·d.

При вращательном движении твердого тела под действием силы f работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота.

Работа переменной силы при повороте тела на конечный угол равняется определенному интегралу от момента сил:

  .

Покажем, работа, совершаемая под действием равнодействующего момента сил, равна изменению кинетической энергии тела. Действительно,

A = M·d= I··d = I·(dw/dt)·w·dt = I·d(w²/2), где M - суммарный момент всех сил, действующих на тело.

Произведя интегрирование по углу, получим:

 A₁₂ = I·w₂²/2 - I·w₁²/2 = E_к.

2.Изменение кинетической энергии тела под действием силы Скалярная величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией тела: Ek=(m*v^2)/2/ Кинетическая энергия тела (от гр. kinetikos — приводящий в движение) — это энергия, которой тело обладает вследствие движения. Кинетическую энергию тела относительно ИСО найдем, исходя из определения:

E_к = m_i·v_i²/2 = m_i·(v_i·v_i)/2 = = m_i·(V_c + v_i')²/2 = = m_i·V_c²/2 + m_i·v_i'²/2+ m_i·V_c·v_i'.

Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых:

	кинетической энергии переносного движения, обусловленного движением центра масс M·Vc2/2;
	кинетической энергии относительного движения, обусловленного движением частей тела в СО, связанной с центром масс, равной  mi·vi'2/2  = Ic·w2/2;
	произведения полного импульса тела p' в СО, связанной с центром масс на скорость движения центра масс: Vc·mi·vi' = Vc·p'. Легко показать, что значение p' равняется нулю. p' = mi·vi' = mi·(vi - Vc) =  mi·vi - mi·Vc = = mi·vi - M·Vc = 0, т.к. из определения центра масс и мгновенной скорости следует, что Vc = mi·vi/M.

Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' относительно СО, связанной с центром масс.  Это утверждение называется теоремой Кёнига. E_к = E' + M·V_c²/2.

Теорема Кёнига справедлива для любого плоского движения при котором центр масс перемещается в некоторой фиксированной плоскости, а вектор угловой скорости все время перпендикулярен к этой плоскости. Примером плоского движения является качение.

3.Потенциальная энергия  — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

E_p = mgh,

где E_p — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

4.Свойства потенциальной энергии. 1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функ¬цией механического состояния системы. 2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией. Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

5. Связь силы и потенциальной энергии.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком