- •Проектирование изделий и оценка технического уровня Лабораторная работа № 4
- •Тема: Применение метода расстановки приоритетов для выбора проектных решений
- •1. На основании результатов анализа строятся матрицы парных сравнений a[n] для n объектов между собой по каждому сi критерию.
- •Анализ трудоемкости изготовления печатных плат для автомобильных часов
Проектирование изделий и оценка технического уровня Лабораторная работа № 4
Тема: Применение метода расстановки приоритетов для выбора проектных решений
В основу этого метода [4.4] положен принцип решения «задачи о лидере», в которой рассматривалась проблема определения результатов некоторого спортивного турнира; шахматного, хоккейного и т. п. Обычно для определения победителя о распределения мест других участников суммируются очки каждого игрока или команды;
Результат |
Очки |
Очки |
Выигрыш |
1 |
2 |
Ничья |
1 / 2 |
1 |
Поражение |
0 |
0 |
Такой подход к выявлению победителя нельзя назвать абсолютно справедливым, потому что место игрока (команды) определяется суммой очков, полученных без учета силы соперников. Например, 2 очка присваивается за победу и над слабым, и над сильным соперником. Решение «задачи о лидере» позволяет учесть силу соперника, и тем самым более справедливо распределить места.
Нахождение решений выбора с помощью расстановки приоритетов требует соблюдение этапов, которые уже рассматривались в МАИ:
Структурирование проблемы выбора.
Разработка (составление) системы критериев.
Анализ характеристик (параметров) объектов выбора в соответствии с выбранными критериями.
Синтез и расстановка приоритетов на основе парных сравнений.
На первом этапе формируется и конкретизируется множество из N объектов (вариантов), из которых предстоит выбрать лучший, оптимальный, наиболее удобный или предпочтительный, расставить по степени важности, значимости, превосходства.
На втором этапе формируется иерархическая система критериев, содержащая К критериев. Их соблюдение будет определять степень достижения цели выбора.
На третьем этапе по шкалам органолептических оценок раздела 1.1 высказываются суждения об уровне соответствия параметров объектов критериям и назначаются оценки: W1, W2, ... , WК, как показано в табл.4.15.
Таблица 4.15 Пример оформления результатов анализа
Варианты |
Критерий C1 |
Критерий С2 |
|
Критерий Ск |
|
Суждение Баллы |
Суждение Баллы |
|
Суждение Баллы |
А1 |
P1(C1) W1(C1) |
P1(C2) W1(C2) |
|
P1(Ск) W1(Ск) |
А2 |
P2(C1) W2(C1) |
P2(C2) W2(C2) |
|
P2(Ск) W2(Ск) |
А3 |
Р3(С1) W3(C1) |
Р3(С2) W3(C2) |
|
Р3(Ск) W3(Ск) |
А4 |
Р4(C1) W4(C1) |
Р4(C2) W4(C2) |
|
Р4(Ск) W4(Ск) |
Четвертый этап выполняется следующим образом.
1. На основании результатов анализа строятся матрицы парных сравнений a[n] для n объектов между собой по каждому сi критерию.
Таблица
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A1 |
W1/W1 |
W1/W2 |
W1/W3 |
W1/W4 |
A2 |
W2/W1 |
W2/W2 |
W2/W3 |
W2/W4 |
A3 |
W3/W1 |
W3/W2 |
W3/W3 |
W3/W4 |
A4 |
W4/W1 |
W4/W2 |
W4/W3 |
W4/W4 |
Общий вид матрицы парных сравнений A[N] = , ij =1, 2 … N.
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A1 |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
A2 |
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
A3 |
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
A4 |
a41 |
a42 |
a43 |
a44 |
Количественные оценки результатов сравнений заносятся в матрицу по следующему правилу
2. Определяются собственные вектора матрицы A[N]. Для объективной расстановки приоритетов объектов ( или другими словами распределения мест) организуется итерационный процесс вычисления оценок, который заключается в последовательном применении преобразования, задаваемого матрицей А[N].
На первой итерации собственные вектора находятся простым суммированием элементов строк аij:
Таблица 4.17 Общий вид матрицы парных сравнений для N объектов по j-му критерию на первой итерации
Варианты |
Матрица |
Вычисление оценок компонент собственного вектора на первой итерации |
Нормализация для получения оценок вектора локальных приоритетов |
|||
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
Si |
Xi |
А1 |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
a11+ a12 + a13+ a14 = S1 |
S1/Ss = X1 |
А2 |
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
a21+ a22 + a23+ a24 = S2 |
S2/Ss = X2 |
А3 |
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
a31+ a32 + a33+ a34 = S3 |
S3/Ss = X3 |
А4 |
a41 |
a42 |
a43 |
a44 |
a41+ a42 + a43+ a44 = S4 |
S4/Ss = X4 |
|
|
|
|
|
Ss = S1 + S2 + S3 + S4 |
Сумма = 1 |
3. Находятся нормализованные значения векторов Хi, матрицы А[N]:
; ; …;
4. Правильность вычислений проверяется условием
На второй итерации собственные значения векторов S, корректируются с учетом приоритетов (значимости, силы) других векторов по формуле
В общем виде, процесс вычисление векторов S, можно представить с помощью следующих формул
,
Таблица 4.18 Общий вид матрицы парных сравнений для второй итерации
Варианты |
Матрица |
Вычисление оценок компонент собственного вектора на первой итерации |
Нормализация для получения оценок вектора локальных приоритетов |
|||
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
Si (2) |
Xi(2) |
А1 |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
a11 S1(1) + a12 S2(1) + a13 S3(1) + a14 S4(1)= S1 (2) |
S1(2)/Ss(2) = X1(2) |
А2 |
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
a21 S1(1) + a22 S2(1) + a23 S3(1) + a24 S4(1)= S2(2) |
S2(2)/Ss(2) = X2(2) |
А3 |
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
a31 S1(1) + a32 S2(1) + a33 S3(1) + a34 S4(1)= S3(2) |
S3(2)/Ss(2) = X3(2) |
А4 |
a41 |
a42 |
a43 |
a44 |
a41 S1(1) + a42 S2(1) + a43 S3(1) + a44 S4(1)= S4(2) |
S4(2)/Ss(2) = X4(2) |
|
|
|
|
|
Ss(2) = S1(2) + S2 (2) + S3 (2) + S4(2) |
Сумма = 1 |
При многократном повторении итераций, собственные значения векторов будут стремиться к своим предельным значениям;
,
Теоретически собственный вектор матрицы стремится к своему пределу при k → ∞, т.е. при неограниченном числе итераций. При решении практических задач с приемлемой погрешностью εдоп за собственный вектор матрицы A[N] можно принять вектор какой-либо k-й итерации. Это значение находится из условия:
εk ≤ Si(k) – Si(k-1) или εk ≤ Xi(k) – Xi(k-1)
где Х - нормализованные значения собственных векторов S - последующей k-й и предыдущей (k-1)-й итерации, εдоп задается требуемой точностью вычислений. С достаточной для практических целей точностью можно принять 0,01 ≤ εдоп ≤ 0,001. Как правило, находится обобщенная погрешность всех векторов Si(k):
Следующий пример иллюстрирует применение МРП в практике проектирования печатных плат.