Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Кафедра конструкции корпуса судов

Задание №1

«Методы поискового проектирования»

Выполнил:

Мялкин Р.А. гр.1160

Проверил:

Гарин Э.Н.

СПб

2011

Общие понятия, определения.

Рассматриваемую задачу поиска следует прежде всего формализовывать, т.е. представить в форме математической модели соответствующего поискового метода.

Общий вид математической модели:

Где X=(x₁,x₂,…x_n)^T – вектор искомых n варьируемых параметров.

F(X) – функция цели в задаче поиска.

Extr=min{F(X)} или Extr=max{F(X)} - предельное значение ФЦ, достигаемое в процессе решения задачи поиска.

– система m зависимостей-ограничений типа равенств.

– система p-m зависимостей-ограничений типа равенств.

Система n ограничений представляет собой область возможных значений (ОВЗ) искомых параметров. При n=1 – однопараметрическая задача, а при n>1 – многопараметрическая задача.

Если ММ состоит только из ФЦ – поиск безусловного экстремума.

Если ММ состоит из ФЦ и зависимостей ограничений – поиск условного экстремума.

Принцип организации процедуры поиска – стратегия поиска.

Алгоритм поиска – последовательность действий ,реализующих данную стратегию.

Важный фактор – геометрия формы ОВЗ и ФЦ.

ФЦ, у которой один экстремум – унимодальная.

Многоэкстремальная ФЦ – полимодальная (имеются локальные и глобальные экстремумы).

Линия уровня – проекция пересечения поверхности уровня на базовую плоскость.

Существуют выпуклые и невыпуклые ФЦ. Также есть ФЦ, обладающие «овражным» свойством – область минимума растянута вдоль оси «оврага».

Метод прямого поиска – стратегии, основанные на непосредственном исследовании поверхности ФЦ. В таких стратегиях поверхность, описываемая ФЦ, называется поверхностью отклика.

Градиентные методы – используют численное представление производных ФЦ по параметрам поиска.

Поиск максимума ФЦ сводится к задаче поиска минимума путем замены знака перед ФЦ на противоположный.

Методы однопараметрического поиска безусловного экстремума функции цели

1. Метод дихотомии.

Метод основан на последовательном анализе ФЦ в двух исследовательских точках.

Затем сравнивается F(x_l) и F(x_r).

Далее отрезок неопределенности сокращается на величину ax_l или x_rb.

Затем проверяется условие , где l – величина отрезка неопределенности в конце поиска;

l₀ – величина начального отрезка неопределенности; – критерий точности поиска.

Если условие выполнено, то поиск завершен, если нет производится следующая итерация.

2. Метод золотого сечения.

«Золотое сечение» - идеальная пропорция, которая использовалась для оценки соотношений размеров отдельных частей сооружений. Отрезок ab может быть разделен на части с помощью золотого сечения , где ac – большая часть отрезка ab, cb=ab-ac.

Можно записать иначе: , где , решив квадратное уравнение, получим , . С помощью и в отрезке ab определяются координаты симметричных точек c и h. Положение точек c и h может использоваться в качестве испытательных.

Стратегия метода золотого сечения аналогична стратегии метода дихотомии.

Затем сравнивается F(x_l) и F(x_r).

Далее отрезок неопределенности сокращается на величину x_l или x_r.

Затем проверяется условие , где l – величина отрезка неопределенности в конце поиска;

l₀ – величина начального отрезка неопределенности; – критерий точности поиска.

Если условие выполнено, то поиск завершен, если нет производится следующая итерация.

3. Метод Фибоначчи.

Основан на свойствах отношений чисел ряда Фибоначчи. Первые два числа из ряда равны 1.

Значения следующих чисел (i≥3) можно определить с помощью зависимости:

Стратегия метода также схожа с методами дихотомии и методом золотого сечения.

Отличием является определение необходимого количества чисел N для обеспечения требуемой точности поиска - . Fb(N)≈1/ .

Затем сравнивается F(x_l) и F(x_r).

Далее отрезок неопределенности сокращается на величину x_l или x_r.

Проверяется условие N-k=3, если да, то поиск завершен, если условие не выполнено, то переходим к следующей итерации.