5. Использование вероятностной сетки Вейбулла.

Задача: Необходимо по данным эксперимента, используя вероятно­стную сетку Вейбулла, проверить тип распределения и определить параметры рас­пределения.

Решение.

Определяем значение интегральной функции отказов технических систем при испытании F^-1(t):

F^-1(t) = .

Результаты расчета сводим в таблицу частот (табл.3):

i	ti	F-1(t)
1	57,5	0,698
2	172,5	0,885
3	287,5	0,927
4	402,5	0,948
5	517,5	0,969
6	632,5	0,990

Наносим по данным таблицы экспериментальные точки на вероятностную сет­ку Вейбулла (рис. 3), соединяем их полигоном, аппроксимируем точки прямой лини­ей. С помощью полученной линии интегральной функции распределения определяем интенсивность отказов тормозных устройств λ и угол наклона прямой β.

λ = = = 0,02381,

β = = 0,5168.

Вывод: интенсивность отказов элементов системы λ равна 0,02381, это не очень низкое значение, значит, промежуток времени между отказами будет не слишком большой.

Угол наклона прямой β = 0,5168 < 1 – значит, что тип распределения далек от экспоненциального.

6. Определение вероятности безотказной работы 2 - го элемента в указанный пери­од времени.

Дано:

λ = 0,02381

t_i = 8 час.

Найти:

P₂ (t) - ?

Решение.

Используем выражение вероятности безотказной работы для экспоненциально­го распределения.

P(t) =

P₂(t) = = 0,83.

Ответ: вероятность безотказной работы 2-го элемента в момент времени 8 часов составляет 0,83.

7. Определение вероятности безотказной работы технической системы в указан­ный период времени.

Дано: Структурная схема ТС.

P

1

2

5

₁(t) = 0,88;

P₂(t) = 0,83;

P

3

₃(t) = 0,85;

P

4

₅(t) = 0,84;

P ₅(t) = 0,86;

t_i = 8 час.

Найти:

P(t) = ?

Решение.

Методом декомпозиции исходной системы на последовательные и параллельные участки:

Для последовательного соединения элементов технической системы использу­ем выражение

P(t) = .

Для параллельного соединения элементов технической системы используем выражение

P(t) =1 - .

В нашем случае мы имеем последовательное соединение первого элемента с подсистемой, состоящей из трех элементов(2-го, 3-го, 4-го), и с пятым элементом. Итак, используя декомпозицию, получим нашу систему в виде:

A

B

C

1

, где подсистема А:

2

3

4

п одсистема B:

п

5

одсистема C:

Вероятности безотказной работы подсистем:

P_A = P₁(t) = 0,88;

P_B =1 – (1 – P₂(t)) (1 – P₃(t)) (1 – P₄(t))= 1- (1 - 0,83) * (1 - 0,85) * (1 - 0,84) = 0,99592;

P_C = P₅(t) = 0,86;

Вероятность безотказной работы ТС:

P(t) = P_A P_B P_C = 0,88 0,86 = 0,7537.

Методом минимальных путей:

Минимальный путь – такое минимальное множество элементов, работоспособность которых обеспечит работоспособность всей системы.

Выделяем минимальные пути для структурной схемы ТС:

{1,2,5}; {1,3,5}; {1,4,5}.

И

1

1

1

2

3

4

5

5

5

зобразим графически выделенные минимальные пути в виде параллельной системы путей.

Определим вероятность безотказной работы для получившейся последователь­но-параллельной системы.

P(t) =1 - = 1 – (1 – p₁ p₂ p₅) (1 – p₁ p₃ p₅) (1 – p₁ p₄ p₅) = 1-(1-0,88*0,83*0,86)*(1-0,88*0,85*0,86)*(1-0,88*0,84*0,85) = 0,950697.

Метод минимальных путей дает верхнюю границу вероятности безотказной работы сложной ТС.

Методом минимальных сечений:

Минимальное сечение – такой набор элементов, при неисправном состоянии которых не работает вся система, а при восстановлении одного из элементов система полностью восстанавливается.

Выделяем минимальные сечения для структурной схемы ТС: {1}; {2,3,4}; {5}.

И

2

3

4

зобразим графически выделенные минимальные пути в виде последователь­ной системы сечений.

1

5

Определим вероятность безотказной работы для получившейся параллельно-последовательной системы.

0,88 0,86 = 0,7537.

Метод минимальных сечений дает нижнюю границу вероятности безотказной работы сложной ТС.

Ответ: в результате расчетов вероятности безотказной работы системы методом декомпозиции исходной системы на последовательные и параллельные участки и методом минимальных сечений получили одинаковые значения вероятностей, а именно поэтому в дальнейших расчетах учитываем это значение.