- •Соединения
- •Дать определение вероятности и относительной частоты событий.
- •Сформулировать теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Дать определение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
- •Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •Написать формулу Бернулли.
- •Написать формулу Биномиального закона распределения.
Написать формулу Биномиального закона распределения.
Пусть случайная величина - число появления события в независимых повторных испытаниях, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью ( и следовательно не наступить с вероятностью . Закон распределения этой случайной величины называется биномиальным.
Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, характеризуется следующим рядом распределения (табл. 1):
|
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой таблице: - возможные значения случайной величины ; , , …, , …, - вероятности того, примет эти значения. Вероятности находят по формуле Бернулли: (1).
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону распределения, находят, соответственно по формулам:
Перечислить свойства плотности вероятности.
Непрерывная случайная величина может быть задана функцией распределения (называемой также интегральной функцией распределения)
или же плотностью распределения вероятностей (называемой также дифференциальной функцией распределения):
(1)
Равенство (1) имеет место в точках непрерывности функции .
Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:
(2).
Свойства плотности распределения вероятностей:
1.
. (3)
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение , определяется равенствами:
. (4).
Написать формулу нормального закона распределения.
Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей
(1), где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение .
Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , равна
(2), где
-функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превысит положительного числа , равна
(3).
Дать определение вариационного ряда.
Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (обозначаем ni,), а отношение их к общему числу наблюдений — частностями или относительными частотами, т.е. wi = ni/п. Частоты и частости называют-
весами.
Определение. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями.
Что характеризует коэффициент корреляции.
Основными задачами при изучении корреляционных зависимостей являются: 1) отыскание математической формулы, которая бы выражала эту зависимость у от х; 2) измерение тесноты такой зависимости.
Решение первой задачи, т.е. определение формы связи с последующим отысканием параметров уравнения, называется нахождением уравнения связи (уравнения регрессии). Показатели, рассматриваемые как функция х, обозначают (читается: «игрек, выравненный по икс»).
Возможны различные формы связи:
прямолинейная: ;
криволинейная в виде:
а) параболы второго порядка (или высших порядков);
б) гиперболы ;
в) показательной функции и т.д.
Параметры для всех уравнений связи чаще всего определяют из так называемой системы нормальных уравнений, отвечающих требованию «метода наименьших квадратов» (МНК). Это требование можно записать как или при линейной зависимости, , т.е. требуется определить, при каких значениях параметров и сумма квадратов отклонений у от будет минимальной. Найдя частные производные указанной суммы по и , и приравняв их к нулю, легко записать систему уравнений, решение которой и дает параметры искомой функции т.е. уравнения регрессии.
Так, система нормальных уравнений при линейной зависимости имеет вид
Если связь выражена параболой второго порядка
то система нормальных уравнений для отыскания параметров , и выглядит следующим образом:
Вторая - задача — измерение тесноты зависимости — для всех форм связи может быть решена с помощью исчисления теоретического корреляционного отношения ():
где — дисперсия в ряду выровненных значений результативного показателя ;
дисперсия в ряду фактических значений у.
Так как дисперсия отражает вариацию в ряду только за счет вариации фактора х, а дисперсия отражает вариацию у за счет всех факторов, то их отношение, именуемое теоретическим коэффициентом детерминации, показывает, какой удельный вес в общей дисперсии ряда у занимает дисперсия, вызываемая вариацией фактора х. Квадратный корень из отношения этих дисперсий дает нам теоретическое корреляционное отношение. Если , то это означает, что роль других факторов в вариации у сведена на нет, и отношение означает полную зависимость вариации у от х. Если , то это означает, что вариация х никак не влияет на вариацию у, и в этом случае . Следовательно, максимальное значение, которое может принимать корреляционное отношение, равно 1, минимальное значение — 0.