- •Соединения
- •Дать определение вероятности и относительной частоты событий.
- •Сформулировать теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Дать определение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
- •Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •Написать формулу Бернулли.
- •Написать формулу Биномиального закона распределения.
Дать определение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
Формула полной вероятности и формула Бейеса
Вероятность события , которое может наступить при условии появления одного из n несовместных событий (гипотез) (i=1,2, …,n) образующих полную группу, находят по формуле полной вероятности:
(1)
В этой формуле - вероятность события ; - вероятность события , - вероятность события при условии, что событие наступило; - сумма произведения вероятностей каждого из событий на соответствующую ей условную вероятность .
Сумма вероятностей гипотез .
Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:
, (2).
В этой формуле - вероятность события , - условная вероятность события при условии, что событие наступило; - вероятность события ; - условная вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло.
Написать формулу Бернулли.
Пусть производиться n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна . Вероятность появления события в испытаниях ровно раз (безразлично, в какой последовательности) находят по формуле Бернулли
. (1)
В этой формуле - вероятность появления события в одном испытании; вероятность непоявления события в одном испытании; - общее число производимых испытаний, в которых появится событие ; - вероятность того, что событие появиться ровно раз в испытаниях.
Перечислить числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей конечное число возможных значений, равно
, (1).
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей бесконечное число возможных значений, равно
, (2).
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
В формулах (1) и (2): - возможные значения случайной величины , - вероятности того, что случайная величина примет эти значения.
Свойства математического ожидания:
1. (3).
Где - постоянная величина.
2. , (4).
Где =const.
3. (5).
Где и - две любые случайные величины.
4. , (6).
Где и - две независимые случайные величины.
Дисперсия случайной величины определяется равенством
, (7)
Или равносильным ему равенством
(8).
Дисперсию дискретной случайной величины, имеющей конечное число возможных значений, можно вычислять по формуле
, (9).
Соответствующей формуле (7), или по формуле
, (10),
соответствующей формуле (8).
Свойства дисперсии:
(11)
(12)
; (13), где и - две независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно
(14).
Перечислить числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Математическое непрерывной случайной величины , значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством
, (1) - плотность распределения вероятностей величины . Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (1) сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
(2)
Дисперсия непрерывной случайной величины , значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством
(3)
Или равносильным ему равенством
(4)
Предполагается, что несобственные интегралы в формулах (3) и (4) сходятся абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
(5)
Или
(6)
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также, как и дискретной случайной величины:
Мода непрерывной случайной величины - это ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум дифференциальной функции распределения.
Медиана непрерывной случайной величины определяется на основании равенства
(7).