Показатели вариации

Исследование вариации в статистике очень важно, так как значение вариации величины в генеральной совокупности отражает ее однородность. На практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое (стандартное) отклонение, 'коэффициент осцилляции и вариации.

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие неоднородность величины. Следует также усвоить, что изучение вариации величины находится в прямой связи с группировками, в частности, с рядами распределения.

1. Размах вариации - определяет размер области значений величины X, является самым простым показателем вариации.

x_max - максимальное значение величины;

x_min - минимальное значение величины.

2. Среднее линейное отклонение — представляет собой величину среднюю из абсолютных отклонений значений величины X от средней.

Обозначается сокращенно СЛО или символом d. В зависимости от отсутствия либо наличия частот в ряду распределения может быть рассчитано по взвешенным и не взвешенным (простым) формулам:

3. Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений величины от средней, не имеет размерности.

Обозначается символом G² (читается «сигма квадрат»). Дисперсия вычисляется по формулам :

4. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) -

представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений величины от средней. Обозначается символом G. Может быть рассчитано по формулам:

5. Коэффициент осцилляции - определяет отношение размаха вариации к средней величине. Обозначается символом V_R, вычисляется по формуле:

6. Линейный коэффициент вариации - определяет отношение среднего линейного отклонения к средней величине. Обозначается символом V_d, вычисляется по формуле:

7. Коэффициент вариации - определяет отношение стандартного отклонения к средней величине. Обозначается символом V_G, вычисляется по формуле:

Пример Исследовали количество детей в семьях сотрудников на одном из предприятий города. Получены следующие данные: 0 детей – 15 семей, 1 ребенок- 25 семей, 2 детей -32 семей, 3 детей -10 семей, 4 детей -8 семей.

Задание: определить среднее значение и показатели вариации количества детей в семье.

Решение. Для удобства представим данные и решение в таблице:

0	15	0	2	30	4	60
1	25	25	1	25	1	25
2	32	64	0	0	0	0
3	10	30	1	10	1	10
4	8	32	2	16	4	32
∑	90	151		81		127
1	2	3	4	5	6	7

1) Для расчета средней арифметической взвешенной разделим результаты суммирования столбца 3 на результаты суммирования столбца 2(объем выборки). Получим: = 151/90=1,68≈ 2 ребенка.

2) Максимальное значение величины х=4, минимальное х=0, следовательно размах вариации R= = 4−0 =4 ребенка.

3) Для расчета среднего линейного отклонения разделим результаты суммирования столбца 5 на результаты суммирования столбца 2(объем выборки). Получим: 81/90 = 0,9 .

4) Для расчета дисперсии разделим результаты суммирования столбца 7 на объем выборки. Получим: = 127/90 =1,41 .

5) Стандартное отклонение равно , т.е.

=1,19.

6) Коэффициент осцилляции найдем как отношение размаха вариации к средней, получим: = 4/2∙100%= 200%.

7) Линейный коэффициент вариации найдем как отношение среднего линейного отклонения к средней, получим: = 0,9/2 ∙100% = 45%.

8) Коэффициент вариации найдем как отношение стандартного отклонения к средней, получим: = 1,19/2∙100% =59,5%.