Средние величины.

1. Степенные средние.

Как правило, средние величины рассчитываются для получения обобщенных количественных характеристик уровня какого либо варьирующего признака по совокупности однородных по основным свойствам единиц конкретного явления или процесса. В статистике все средние величины обозначаются как X. Существует несколько видов средних величин.

Основной средней величиной является средняя степенная. Она имеет следующий вид:

,

где Х - средняя величина;

X - меняющаяся величина признака варианты;

N - число признаков или вариант;

m - показатель степени средней.

В зависимости от величины показателя степени средней она принимает следующие виды:

а). Средняя арифметическая простая (не взвешенная), где m = 1. Она имеет вид:

б). Средняя арифметическая взвешенная. Она имеет вид:

где - n частоты или веса

Пример 1. В результате анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия получены следующие прибыли по годам

( в млн.руб): 2004 -21,5; 2005 -23,6; 2006 – 20,9; 2007 – 31,2; 2008 -29,8; 2009 -27,4.

Задание: По приведенным данным рассчитайте среднюю прибыль в период с 2004 по 2009 г.

Решение. Рассчитаем среднюю величину. Для этого воспользуемся формулой средней арифметической простой(не взвешенной):

Таким образом 3

Ответ. Среднегодовая прибыль в период с 2004 по 2009 г. составила 25,7 млн.руб.

Пример 2. В ходе социологического исследования одного из городов Башкортостана выясняли, кроме прочего, количество детей в семье. Получены следующие данные: нет детей – 2300 семей; 1 ребенок -13760 семей; 2 ребенка – 15270 семей; 3 ребенка – 1400 семей; 4 ребенка – 119 семей; 5 детей – 11 семей.

Задание: Рассчитать среднее количество детей в семье в обследованном городе.

Решение. Рассчитаем среднюю величину. В данном случае формулой простой средней арифметической пользоваться нельзя, т.к. указаны количества семей, имеющих определенное количество детей. Такое количество одинаковых значений величины Х называется частотой или весом значения .

Поскольку в данном случае значения весов присутствуют и они абсолютные, то расчет будем проводить по формуле средней арифметической взвешенной:

Таким образом,

Ответ. Среднее количество детей в семье составляет 2 ребенка.

Пример 3. Проводили исследование успеваемости по русскому языку в одной из школ г.Уфы. В результате исследования получены следующие данные: оценка 2 – у 0,05 от общего количества учащихся; 3 – 0,23; 4- 0,41; 5-0,3

Задание: рассчитать среднюю оценку по русскому языку в данной школе.

Решение. Рассчитаем среднюю величину. В данном случае частоты отдельных значений также присутствуют, но они выражены долями от общего количества учащихся, т.е. даны в относительных значениях. Поэтому расчет будем проводить по формуле средней арифметической взвешенной для относительных частот:

Таким образом,