Лабораторная работа №6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТЕРНИЯ ВОЗДУХА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Целью работы является определение величины коэффициента внутреннего трения воздуха и его температурной зависимости методом, основанным на истечении воздуха через капилляр (метод Пуазейля).
1. Теоретическое введение
Понятие об идеальной жидкости и идеальном газе, т.е. о веществах, движущихся без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникающее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.
Рассмотрим поток среды (жидкости или газа), скорость течения в которой различна в разных местах. Такое состояние вещества не является равновесным, и в нем будут происходить процессы, стремящиеся выровнять скорость течения. Эти процессы называются внутренним трением. При внутреннем трении благодаря тепловому движению молекул происходит передача импульса от более быстрых участков потока к менее быстрым.
|
Рис. 1. Поле скоростей жидкости, текущей по капилляру. |
Рассмотрим
площадку
,
расположенную перпендикулярно к оси X
(см. рис. 1). Вдоль этой оси имеется градиент
скорости течения слоев газа
.
Взаимодействие соседних слоев газа
осуществляется путем передачи некоторого
количества движения от одного слоя к
другому: из одного слоя молекулы, имевшие
массу
и скорость
поступательного движения в газовом
потоке, пролетают в другой слой.
Следовательно, они переносят количество
движения
.
Здесь речь идет о том количестве движения,
которое имеют молекулы газа за счет
поступательного движения всей массы
газа. Молекула, пролетевшая из слоя
газа, двигающегося с меньшей скоростью
в слой газа, двигающийся с большей
скоростью
,
переносит в этот слой некоторое количество
движения
и замедляет его. И наоборот, молекула
из быстро двигающегося слоя перейдя в
медленно двигающийся слой ускорит
последний, внеся в него количество
движения
.
Таким образом, механизм внутреннего трения заключается в переносе движения молекул из одного слоя газа в другой.
Вычислим
количество движения, которое переносится
через площадку
.
Благодаря хаотичности теплового движения
молекул можно считать, что вдоль каждой
координатной оси двигается одна треть
от общего количества молекул. Из молекул,
двигающихся вдоль оси X,
половина двигается вниз, другая вверх
(см. рис. 1). Пусть все молекулы имеют
среднюю скорость теплового движения
.
Через площадку
могут пролетать те молекулы, которые
находятся от нее на расстоянии
средней длины свободного. Тогда количество
движения, перенесенное молекулами снизу
вверх через площадку
за время
,
где
– масса молекул газа,
–
концентрация молекул газа. Сверху вниз
будет перенесено количество движения
.
Таким образом, полное изменение количества движения равно импульсу, переданному от одного слоя газа к другому
,
где
– сила внутреннего трения газа. С другой
стороны, как известно из механики
жидкостей и газов сила внутреннего
трения равна
откуда получим выражение для коэффициента вязкости
.
Важным
свойством коэффициента вязкости является
его независимость от давления
(концентрации) газа,
поскольку
.
Объясняется это тем, что при изотермическом
увеличении плотности газа, например, в
2 раза, вдвое увеличивается число
переносчиков импульса, но каждая молекула
(атом) проходит без столкновения вдвое
меньшее расстояние и переносит вдвое
меньший импульс. Поэтому в целом перенос
импульса не меняется.
Напомним, что величины и в формуле , соответственно, средняя скорость теплового движения молекул газа и средняя длина свободного движения. Используя для них соответствующие выражения
,
получим зависимость коэффициента вязкости от температуры
.
В ходе выполнения данной лабораторной работы коэффициент вязкости воздуха измеряется методом Пуазейля, который основан на определении массового расхода воздуха при его ламинарном течении через капилляр.
При
ламинарном течении скорость газа вблизи
стенки капилляра равна нулю и максимальна
на его оси. Найдем закон изменения
скорости в перпендикулярном направлении
к оси потока. Выделим воображаемый
цилиндрический объем газа радиуса
и длины
(см. рис. 2). При стационарном течении
этот объем двигается без ускорения, т.е
сумма приложенных к нему сил равна нулю.
В направлении движения на газ действует
сила давления
,
во встречном направлении сила давления
,
т.е. суммарная сила давления равна
.
На боковую поверхность действует тормозящая сила внутреннего трения, модуль которой согласно равен
,
где
– площадь боковой поверхности цилиндра,
– значение производной на расстоянии
от центральной оси. Приравнивая
и ,
получим уравнений
,
Интегрируя полученное уравнение, получим зависимость для скорости газа от
.
|
Рис. 2. На основания цилиндрического объема действуют перпендикулярные к ним силы давления, а на боковую поверхность цилиндра – касательные к ней силы внутреннего трения воздуха. |
Используя
можно определить поток газа
(объем протекающий через поперечное
сечение в единицу времени). Разобьем
сечение капилляра на кольца шириной
.
Через кольцо радиуса
пройдет в единицу времени объем газа
.
Интегрируя
выражение в пределах от нуля до
для величины
получим формулу Пуазейля
.
Таким образом, зная параметры капилляра (радиус и длину), измеряя объемный расход воздуха и разность давлений на концах капилляра можно определить коэффициент внутреннего трения воздуха, что и является целью настоящей лабораторной работы.