Решение
Поскольку медиана имеет свойство, что сумма абсолютных величин отклонений элементов выборки от медианы меньше, чем от любой другой величины, то для решения примера нужно найти медиану.
Сначала определим объем выборки :
n = 5 + 2 + 3+10 + 1 + 4 + 6 = 31.
Следовательно, серединой (средним членом) вариационного ряда будет элемент с номером 16: Me = x16. Поскольку вариационный ряд можно записать в виде
10,..., 10,12,12,15,15,15, 25,..., 25, 28, 30,..., 30, 33,..., 33;
5 раз 10 раз 4 раза 6 раз
легко видеть, что x16 = 25, то есть остановку следует расположить па 25-ом километре железной дороги.
Модой
(Mo)
называется варианта с наибольшей
частотой. В случае интервального
статистического распределения выборки
с одинаковыми по длине частичными
интервалами модальный частичный интервал
определяется по наибольшей частоте, а
при разных по длине
частичных интервалах — по наибольшей
плотности
,
где ni,
hi
— соответственно частота и длина i-го
частичного интервала. В этом случае
моду находят по формуле:
где
— начало модального частичного интервала;
hMo
— длина модального частичного интервала;
nMo
— частота модального частичного
интервала; nMo-1
— частота предыдущего к модальному
частичному интервалу; nMo+1
— частота следующего за модальным
частичным интервалом.
Вариационным размахом называется разница между наибольшим и наименьшим значениями выборки :
R=Xmax - Xmin
Пример 4. Задано интервальное статистическое распределение выборки :
(xi, xi+1] |
(10; 15] |
(15; 20] |
(20; 25] |
(25; 30] |
(30; 35] |
(35; 40] |
(40; 45] |
ni |
7 |
4 |
5 |
1 |
12 |
3 |
18 |
Найти медиану, моду, вариационный размах.
Решение
Определим объем выборки :
n = 7 + 4 + 5+1 + 12 + 3+18 = 50.
Медианным частичным интервалом будет пятый интервал, поскольку это первый интервал, для которого сумма частот всех предыдущих частичных интервалов из данным включительно превышает половину объема выборки:
Модальным интервалом части будет последний интервал, поскольку он имеет наибольшую частоту.
Найдем
начало медианного частичного интервала
,
длину медианного частичного интервала
hMe,
номер предыдущего к медианному частичному
интервалу Me — 1, частоту частичного
медианного интервала nMe,
начало модального частичного интервала
,
длину модального частичного интервала
hMo,
частоту модального частичного интервала
nMo,
частоту предыдущего к модальному
частичному интервалу nMo-1
, частоту следующего за модальным
частичным интервалом nMo+1,
наибольшее и наименьшее значение
выборки:
hMe=35 – 30 = 5
Me – 1 = 4
nMe = 12
= 40
hMo=45 – 40 = 5
nMo = 18
nMo-1 = 3
nMo+1 = 0
xmax = 45
xmin=10
Искомые медиана, мода и вариационный размах соответственно будут такие:
R=Xmax - Xmin = 45 – 10 = 35.