Данное пособие составлено по принципу опорного конспекта по математике. Содержит индивидуальные задания для студентов по теме «Неопределённый интеграл». Может быть использовано для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.
Составители: Зенкевич Е.А., Камартина Н.М.
1. Первообразная. Неопределённый интеграл
Основной задачей
интегрального исчисления является
нахождение функции f(x)
по её известной
производной
.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a,b), если во всех точках этого промежутка производная от F(x) равна f(x) (или дифференциал F(x) равен f(x)dx):
Например, функция
F(x)=arcsinx
является первообразной для функции
на
интервале (-1,1), потому что
для всех
.
Первообразная для заданной функции находится неоднозначно – с точностью до постоянной С.
Нетрудно доказать следующие утверждения.
Теорема1.1. Множество всех первообразных для заданной функции f(x) задаётся выражением F(x) + C, где F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), а С – произвольная постоянная.
Теорема 1.2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то в этом промежутке для неё первообразная F(x) существует.
Определение 1.2.
Множество всех первообразных для
заданной функции f(x)
называется неопределённым интегралом
от функции f(x)
и обозначается символом
.
При этом знак
называется
знаком интеграла, выражение f(x)dx
- подынтегральным выражением, а сама
функция f(x)
– подынтегральной функцией.
Сопоставляя
информация последнего определения и
теоремы 1.1 можно записать формулу:
Например,
.
Операцию нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции f(x) называют интегрированием функции f(x).
Очевидно, что эта задача является обратной по отношению к основной задаче дифференциального исчисления, которая состояла в нахождении по заданной функции её производной. Отсюда непосредственно следуют некоторые формулы:
Из этих соотношений ясно, что правильность выполнения действия интегрирования можно проверить дифференцированием полученного результата. А таблица неопределённых интегралов от основных элементарных функций получается обращением таблицы производных.
2.Таблица основных интегралов
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Свойства неопределённого интеграла
1.Линейность
интеграла
2.Инвариантность формул интегрирования
Это очень важное свойство, поскольку позволяет расширить возможности таблицы. Любая формула интегрирования остаётся справедливой, если независимую переменную х заменить любой дифференцируемой функцией x(t):
На применении этих свойств основано так называемое непосредственное интегрирование. Например:
При этом на первом
шаге было использовано свойство
линейности интеграла. После чего второе
слагаемое – это табличный интеграл
(формула №9). А для первого слагаемого
применено свойство инвариантности, где
в качестве функции x(t)
используется
.
Это позволяет «увидеть» здесь табличную
формулу №2.
Такой приём ещё
называют подведением
под знак дифференциала.
Название отражает известное свойство
дифференциала
.
Для нашего примера его можно записать
как
.
Для того, чтобы научиться интегрировать, необходимо освоить основные методы, уметь их технически выполнять и знать, в каком случае «работает» соответствующий метод.
4.Интегрирование по частям
Этот метод состоит
в применении формулы
.
При этом функции u=u(x),
v=v(x)
имеют
непрерывные производные. Выбор «частей»
для подынтегрального выражения, стоящего
в левой части равенства, обусловлен
всего лишь очевидным требованием:
интеграл,
который получится в правой части, должен
быть более простым.
Применять этот метод можно в различных
случаях. Чаще всего тогда, когда
подынтегральная функция является
произведением рациональной и функции
какого-то другого класса. Например:
=
В квадратных скобках указывают необходимые вычисления. В левом столбце записано разбиение подынтегрального выражения на части, чем и обусловлено название метода. А в правом просто найдены величины, нужные для применения формулы.
5.Замена переменной в неопределённом интеграле
Этот метод
предполагает введение новой переменной
с целью сделать интеграл известным или
даже табличным. Новая переменная
выбирается исходя из конкретного вида
подынтегральной функции. В общем случае
это означает выбор функции
Эта функция предполагается дифференцируемой
и осуществляющей взаимно однозначное
соответствие между переменными x
и t
в рассматриваемых областях их изменения.
Такое требование обеспечивается, если
строго
монотонна и дифференцируема. Выбрав
подходящую для подстановки функцию
исходный интеграл записывают в виде
Здесь g(t)=
,
а интеграл
предполагается
известным. Для записи окончательного
ответа выполняется обратный переход
от переменной t
к переменной x.
Например:
6.Интегрирование рациональных функций
В общем случае
рациональная функция представляет
собой частное двух многочленов, а значит
дробь вида
.
Здесь
и
- многочлены по степеням x
.В зависимости от соотношения показателей
старшей степени n
и m
дроби различают на правильные и
неправильные. Приступая в работе с
интегралом
нужно
сначала выяснить, какая именно дробь
здесь рассматривается. Если
,
то дробь неправильная. Её следует
представить в виде суммы многочлена и
правильной рациональной дроби. Этот
процесс называется выделением из дроби
целой части и в общем случае осуществляется
делением числителя на знаменатель
«углом». Например:
Если в исходном интеграле дробь была правильной - этот шаг пропускаем. Таким образом, в любом случае вопрос сводится к интегрированию правильной рациональной дроби.
Из алгебры известно,
что всякая правильная рациональная
дробь может быть представлена как сумма
конечного числа элементарных (простейших)
дробей четырёх типов:
Здесь A,B,a,p,q – вещественные числа, k - натуральное. Квадратные трёхчлены в знаменателях дробей 3 и 4 типов корней не имеют.
Практическое
применение этого утверждения начинается
с разложения
знаменателя
правильной дроби на
множители.
Разложение выполняется до линейных и
квадратичных множителей (с отрицательным
дискриминантом). Например, в нашем случае
получается
.
Каждый из сомножителей в полученном
произведении порождает впоследствии
простейшую дробь соответствующего
типа. Нужно просто сравнить его со
стандартом и выбрать. В данном примере,
очевидно, каждый из сомножителей имеет
вид (x-a).
Поэтому в разложении правильной дроби
следует записать 3 слагаемых первого
типа. Знаменателем каждой из простейших
дробей будет один из сомножителей.
Числитель всегда записывается по
стандарту. Для 1 типа он представляет
собой число, пока неизвестное, а потому
обозначенное буквой А.
Называются эти числа неопределёнными
коэффициентами.
Для их нахождения составляется система уравнений. Очевидно, в нашем примере их должно быть 3 (по числу неизвестных). Для составления системы уравнений есть два варианта. Если все дроби в разложении получились 1 типа, то лучше применять метод частных значений. Он основан на том факте, что равенство
должно выполняться при любом значении неизвестного. Для нас это означает, что можно подставить те значения, при которых будет удобно считать. Очевидно, это те значения х, при которых некоторые слагаемые в правой части обращаются в нуль. В результате такой подстановки получается система из трёх уравнений с тремя неизвестными:
Такая система разрешима всегда. Её решение даёт возможность записать наш интеграл в виде суммы табличных интегралов с известными коэффициентами:
Умение интегрировать рациональные функции является основным. Потому что многие выражения удаётся, как это называется, рационализировать с помощью подходящих подстановок. В результате получается интеграл от рациональной дроби, а его можно взять всегда.