V. Оборотный маятник.

Частным случаем физического маятника является оборотный ма-

ятник. Определение ускорения свободного падения с помощью оборот­ного маятника основано на свойстве взаимности точки подвеса и центра качания: при переносе точки подвеса в центр качания преж­няя точка подвеса становится новым центром качания.

Ранее было получено соотношение:

T =

связывающее период Т малых колебаний физического маятника с его моментом инерции J относительно оси качаний О, массой m маятника,

расстоянием L от оси качания до центра масс и ускорением силы тя­жести g (рис.4). Т.о соотношение (18) может быть использовано для определения g. Для этого необходимо измерить Т, J и L и выразить через них g с помощью формулы (18). Оказывается, однако, что с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины J и L достаточно точно измерить не удаётся. Например, для нахождения расстояния L от оси качаний до центра масс ма­ятника необходимо предварительно определить положение центра масс, что сделать точно довольно трудно.

рис. 4

Достоинством метода оборотного маятника для определения ус­корения свободного падения является то, что J и L не входят в

расчётную формулу для g. Перейдём к обсуждению этого метода.

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции маятника относительно оси качаний О:

J = J₀ + mL² , (19)

где J₀ - момент инерции маятника относительно оси, параллельной

оси качаний и проходящей через центр масс С маятника, L - рассто­яние между точками О и С.

Подставляя (19) в (18), получаем:

(20)

Обсудим качественно характер зависимости периода колебаний от расстояния до оси качаний. При очень малых L момент силы тя­жести M = - m g L sin Ө (рис.4.), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, становится очень малым и период колебаний

резко возрастает. В пределе L → 0 момент силы тяжести равен нулю

и колебания вообще невозможны: маятник находится в положении рав­новесия. Это согласуется с формулой (20): при L → 0 период

В обратном пределе очень больших L можно пренебречь J₀ посравнению с mL² и рассматривать физический маятник как математи­ческий с длиной подвеса L. В этом случае период колебаний

T =

При возрастании L период Т сначала убывает до некоторого минимального значения

Т_m = Т_min, а затем снова неограниченно возрастает при L→0: см (20).

Период минимален при

Качественно вид Т(L) изобра­жён на рис.5. Значению L = 0 соответствует центр масс маятника. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то зависимость Т(L) будет точно такой же. Поэтому график Т(L) имеет две симметричные ветви, соответствующие положению точки подвеса маятника слева и справа от его центра масс. По каждую сторону от центра масс маятника имеется по два положения опорных призм, при которых периоды коле­баний маятника совпадают.

рис 5.

Но в случае, когда Т = Т_min таких точек по одной от центра масс, причем L₁ = L₂ .

В данной установке оборотный маятник представляет собой стальной стержень , на котором находятся два подвижных груза A и B (рис.6). Две легкие опорные призмы П₁ и П₂ могут перемещаться по стержню и фиксироваться винтами в разных его точках. Маятник совершает колебания в вертикальной плоскости. Перемещая по стерж­ню грузы, можно изменять период колебаний маятника.

рис 6.

Попробуем найти такие два положения L₁ и L₂ опорных призм по разные стороны от центра масс, чтобы периоды колебаний маятника совпадали:

Т(L₁) = Т(L₂).

Как видно из (20), для этого необходимо выполнение равенства

Следовательно, ускорение свободного падения может быть опре­делено по формуле

^{Как видно из (23), для нахождения g достаточно измерить}

только две величины: расстояние L₀ = L₁ + L₂ между рёбрами опор­ных призм и период колебаний маятника T в положении L₁ и в "пере­вёрнутом" положении L₂, таком, чтобы T = T₁ = T₂.

VI. Измерения.

1. Повернуть верхний кронштейн на 180^o.

Зафиксировать грузы на стержне не симметрично, т.о., чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины.

Опорные призмы маятника закрепить по обеим сторонам центра тяжести полученной по вышеуказанному способу системы таким обра­зом, чтобы они были обращены друг к другу вершинами. Одну из них поместить вблизи свободного конца стержня, а вторую на половине расстояния между грузами.

2. Установить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на призме, находящейся вблизи конца стержня.

Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком пере­местить таком образом, чтобы стержень маятника пересекал оптичес­кую ось.

Отклонить маятник на 4-5^o от положения равновесия и отпус­тить.

Нажать <СБРОС>.

После подсчёта измерителем N колебаний ( N=10_20 ) нажать

кнопку <СТОП>.

По формуле (9) определить период оборотного маятника T₁.

3. Снять маятник и закрепить его на второй призме.

Нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком переместить таким образом, чтобы маятник пересекал оптическую ось.

Отклонить маятник на 4-5^o от положения равновесия, аналогич-

но п.2 измерить T₂ и сравнить с T₁; если T₂>T₁, то вторую призму

переместить в направление груза, находящегося в конце стержня,

если же T₂<T₁ - то в направлении середины стержня.

Положение грузов и первой призмы не менять!

Повторно измерить период T₂ и сравнить с величиной T₁.

Изменять положение второй призмы до момента получения равно­весия T₂ = T₁ с точностью до 0.5%.

Определить приведённую длину оборотного маятника L₀.

4. По формуле (23) найти величину g.

5. В реальных опытах не удаётся вполне точно выровнять вели­чины Т₁ и Т₂, что приводит к погрешности определения g. При этом возникает вопрос, какое же значение следует подставлять в формулу (23)? При Т₁ ~ Т₂ эта погрешность не очень существенна, но при неблагоприятных условиях опыта может сильно возрастать. Как нет­рудно убедиться, Т лежит не между Т₁ и Т₂, а вне этих значений. Доказательство высказанных здесь утверждений мы представляем чи­тателю. Чтобы определить величины L₁ и L₂ придумайте простой спо­соб, позволяющий найти центр тяжести маятника.

Контрольные вопросы.

1. Какому методу измерений ускорения силы тяжести вы отдаёте предпочтение? Почему?

2. Как влияют на точность опытов колебания температуры, сила трения, амплитуда колебаний маятника?

3. Выведите формулу (6') для периода нелинейных колебаний математического маятника.

4. От чего зависит величина ускорения силы тяжести?

5. Где и для каких целей используются маятники?

6. Рассмотрите оборотный маятник, имеющий вид тонкого одно­родного стержня длины L с двумя невесомыми подвижными призмами. Как в этом случае будет зависеть величина Dg/g от положения призм относительно центра тяжести маятника? Какое расположение призм кажется вам более разумным? Оцените значения Т и ∆Т, соответству­ющие величине Dg/g = 5710^-2, а также время, необходимое для про­ведения эксперимента с заданной точностью.

7. Сформулируйте теорему Гюйгенса.

8. Что называется приведенной длиной физического маятника?

9. При каком условии точка подвеса и центр качания физичес­кого маятника расположены симметрично относительно его центра

масс?

10. При каком расстоянии от опорной призмы до центра масс пе­риод колебаний маятника минимален?

11. Покажите, что точка опоры маятника и точка его качания лежат по разные стороны от центра масс.

Литература.

1. Савельев И.В. Курс общей физики,т.1.Механика, колебания и волны, молекулярная физика, "Наука", 1965.

2. Стрелков С.П. Механика, "Наука",1965.

3. Хайкин С.Э, Физические основы механики, "Наука", 1971.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики., Т.1, Механика., М.,

1989.

5. Лабораторные занятия по физике, под ред. Л.Л.Гольдина,

М., 1983.