Тригонометрическая форма комплексного числа
Z =r
φ- аргумент аргумент комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не определяется
Т.к Z =r =
А2 В2
Z= А + В· i= |
|
cosφ+i |
|
sinφ |
А2 В2 |
А2 В2 |
cos |
|
A |
|
sin |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 B2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
A2 B2 |
|
tg BA
Сложение и умножение комплексных чисел
Алгебраическая
форма
Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)I
Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i
Геометрическая
форма
Произведение Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1) Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+
φ2)]
Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
Формула Муавра
Z n [r (cos i sin )]n
r n (cos n i sin n )
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n
Число Z называется корнем степени n из |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
числа ω (обозначается |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
), если |
|
|
|||||||||||||||
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из данного определения вытекает, что |
||||||||||||||||||
каждое решение уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
является корнем степени n из числа ω. |
||||||||||||||||||
Z= r (cos φ+ i sin φ) |
|
ω= ρ(cos ψ+ i |
sin ψ) |
|
|
|||||||||||||
r n (cos n i sin n ) (cos i sin ) |
|
|||||||||||||||||
r n |
|
и n 2 k, |
где |
k Z |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
r n |
, n |
n |
k, k Z |
|
|
|
|||||||||||
|
Zk n |
|
[cos( |
|
2 |
k) i sin( |
|
2 |
k)], |
k Z |
||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
||||
Вторая формула Муавра
Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n
a |
Z n a |
n 1 |
Z n 1 |
... a Z1 |
a |
0 |
0 |
||
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
где |
an,..., a0 |
заданные |
копмплексные числа. |
||||||
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.
Пример:
Решить уравнение:
x3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 8 (cos( 2 k) i sin( 2 k)), |
|
k Z |
|
|||||||||||||
x r (cos i sin ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r3 (cos 3 i sin 3 ) 8 (cos( 2 k) i sin( 2 k)), |
k Z |
|||||||||||||||
тогда 3 2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 k , |
|
|
k Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 (cos 2 k |
i sin 2 k )), |
k Z |
|
|||||||||||||
k 0,1,2... |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2(cos i sin ) 1 |
|
i |
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
2(cos( |
|
2 |
) i sin( |
|
2 |
)) 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2(cos( |
|
4 |
) i sin( |
|
4 |
)) 1 |
|
|
i |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Свойства сложения и умножения
Переместительное свойство:
Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Сочетательное свойство:
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 + (Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)
(Z2+Z3)
Распределительные свойство:
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
Вычитание и деление комплексных чисел
Вычитание – операция, обратная
сложению:
Z+ Z2 = Z1
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- ZZ2=) Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная
умножению:
Z · Z2 = Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z |
Z1 |
Z2 0 |
|
Z2 |
|||
|
|