Лекция 4.2 пересечение поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей, как и построение точки пересечения линии с поверхностью, означает определение их общих элементов. Такие задачи относят к позиционным. При их решении не учитываются метрические свойства объектов, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения.

Линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приёма, который называется способом вспомогательных секущих поверхностей-посредников.

Общий алгоритм решения задачи

Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 77).

Чтобы построить такие точки, надо данные поверхности пересечь одновременно некоторой вспомогательной поверхностью Г. Следующим действием является построение линий пересечения поверхности-посредника Г с каждой из данных поверхностей:

l = Г ∩ Ф,

m = Г ∩Q .

Рисунок 77 – Пересечение двух поверхностей

Затем отмечаем точки пересечения полученных линий как лежащих на поверхности-посреднике:

А = l ∩ m,

B = l ∩ m и т.д.

Эти точки принадлежат и поверхности Г, и данным поверхностям Ф, Q, и поэтому они принадлежат искомой линии пересечения поверхностей Ф и Q.

Повторяя приём, можно найти такое количество точек кривой, которое позволяет достаточно точно провести через эти точки искомую кривую по лекалу.

Введение поверхности-посредника позволяет свести задачу о пересечении двух кривых поверхностей к более простой задаче пересечения двух линий, лежащих на одной вспомогательной поверхности.

Вид и расположение этой вспомогательной поверхности относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получились простые по форме линии (прямая, окружность) и чтобы проекции этих линий легко строились на комплексном чертеже.

В качестве вспомогательных поверхностей чаще всего используют либо плоскости, либо сферы.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с определения её опорных точек. К ним относятся:

1) экстремальные – наивысшая и наинизшая точки относительно той или иной плоскости проекций;

2) точки видимости, имеющие свои проекции на линиях очертания поверхностей.

Опорные точки почти всегда позволяют видеть, в каких пределах нужно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для нахождения остальных, так называемых произвольных или промежуточных, точек.

Пример

Построить линию пересечения кругового конуса со сферой (рисунок 78).

Рисунок 78 – Пересечение конической и сферической поверхностей

Задача решается способом секущих плоскостей-посредников. Следует отметить, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая проходит через ось симметрии конуса и центр симметрии сферы. Эта плоскость обозначена Ф(Ф₁). Она определяет опорные точки 1(1₂) – высшую и 2(2₂) – низшую. Горизонтальные проекции этих точек 1₁ и 2₁ расположены соответственно на линии Ф₁. К опорным следует отнести и точки А, В, определяющие видимость линии пересечения данных поверхностей на горизонтальной плоскости проекций П₁. Эти точки находятся в плоскости экватора Γ(Γ₂) сферической поверхности, которая пересекает конус по окружности радиуса R, а сферу по экватору. В пересечении горизонтальных проекций этих линий получаем точки А₁ и В₁. Фронтальные проекции А₂ и В₂ точек видимости А и В определяются соответственно на линии Γ₂.

Далее определяем нужное количество промежуточных (произвольных, случайных) точек, используя для этого вспомогательные горизонтальные плоскости-посредники, одна из которых Γ(Γ₂) показана на чертеже. С её помощью построены точки 3 и 4. Плоскость Γ(Γ₂) пересекает конус и сферу по соответствующим окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскость П₁. Их пересечение позволяет определить первоначально горизонтальные проекции 3₁, 4₁ точек 3 и 4, а затем по линии связи фронтальные проекции этих точек соответственно на линии Γ₂.

Построенные точки соединяют на обеих проекциях с учётом видимости плавной кривой с помощью лекала.

На фронтальной проекции половина кривой находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая её часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть кривой, на которой находятся точки 1, А, В, расположенные выше экватора сферы. Очерковая образующая фронтальной проекции конуса между точками 1 и 2 находится внутри сферы и изображена поэтому сплошной тонкой линией. Точно так же изображена часть линии очерка сферы, находящаяся внутри конуса. На горизонтальной проекции тонкой линией показана часть окружности экватора, находящаяся внутри конуса.

Пересечение гранной поверхности с криволинейной

Построение линии пересечения в данном случае сводится к построению ряда плоских кривых – линий пересечения отдельных граней многогранника с кривой поверхностью и к определению точек пересечения его ребер с этой поверхностью, т.е. к решению рассмотренных выше задач на пересечение поверхности с плоскостью и на пересечение поверхности (плоскости) с прямой линией.

Лекция 4.3

Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом концентрических и эксцентрических сфер

Построить линию пересечения двух конических поверхностей вращения (рисунок 81).

В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей используются концентрические сферы. Но прежде чем рассмотреть решение этой задачи, остановимся на одном частном случае пересечения поверхностей вращения.

Пусть две такие поверхности имеют общую ось, т.е. являются соосными. В этом случае они будут пересекаться по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

Пусть одна поверхность образуется вращением меридиана m(m₂), а другая – вращением меридиана n(n₂) около общей оси i(i₂) (рисунок 79). При этом общие точки А(А₂), В(В₂), С(С₂) меридианов образуют окружности, общие для данных поверхностей, и число таких окружностей равно числу точек пересечения меридианов.

Рисунок 79 – Образование соосных поверхностей вращения

Рисунок 80 – Пересечение соосных поверхностей вращения

Предположим, что некоторая поверхность вращения пересекается со сферой, причём центр сферы находится на оси этой поверхности. При таком условии сфера будет соосной с поверхностью, и в пересечении получается окружность (рисунок 80).

Свойство сферы, имеющей центр на оси поверхности вращения, пересекать поверхность по окружностям является основой способа концентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется при следующих условиях:

1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

2) оси поверхностей пересекаются;

3) пересекающиеся оси образуют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

В рассматриваемом примере (рисунок 81) оси вращения данных конусов i, l пересекаются в точке О(О₁, О₂) и образуют общую плоскость симметрии Ф(Ф₁), параллельную фронтальной плоскости проекций П₂.

Вначале определяем опорные точки. Это наивысшая точка 1 и наинизшая точка 2, которые расположены в общей плоскости симметрии Ф(Ф₁) и получаются в пересечении главных меридианов данных конусов. Исходя из этого отмечаем фронтальные проекции 1₂ и 2₂ точек 1 и 2. Горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ этих точек отмечаем на линии l₁ ≡ Ф₁. К опорным отнесём и точки, полученные при помощи вспомогательной секущей сферы наименьшего радиуса, проведённой из точки О₂. Для определения этого радиуса нужно из точки О₂ провести две нормали к очерковым линиям поверхностей и выбрать большую из них. Если в качестве радиуса вспомогательной сферы взять меньшую нормаль, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечётся. В данном примере с помощью сферы наименьшего радиуса построены точки А и А^. Эта сфера (на чертеже она изображается окружностью) касается конуса с осью вращения i, а конус с осью вращения l пересекает. И касание, и пересечение осуществляются по окружностям, которые на фронтальной проекции изображаются отрезками. В их пересечении получаются точки А₂ ≡ А^₂.

Рисунок 81 – Способ концентрических сфер

Горизонтальные проекции А₁, А^'₁ точек А и А^' построены при помощи окружности-параллели конуса с осью i, по которой вспомогательная сфера наименьшего радиуса касается этого конуса. Точки 3 и 4 видимости линии пересечения данных поверхностей на плоскости П₁ также относятся к опорным точкам. Они определяются при помощи плоскости Γ(Γ₂), проведённой через ось вращения l второго конуса. Эта плоскость пересекает конус с осью i по окружности m(m₂, m₁), а второй конус – по образующим q и q₁, которые совпадают с его осью. Горизонтальные проекции 3₁, 4₁ точек видимости 3 и 4 получаются в пересечении окружности m₁ с линиями q₁ и q^'₁.

Фронтальные проекции 3₂ ≡ 4₂ этих точек определяются на линии l₂ ≡ Γ₂. На плоскости П₁ видимыми являются точки, расположенные на линии пересечения выше плоскости Γ(Γ₂). Это точки 1, А, А^', 3 и 4. Промежуточные точки линии пересечения определены с помощью сфер, проведённых из центра О₂, радиусы которых больше радиуса R_min – радиуса наименьшей сферы, но меньше радиуса наибольшей сферы, которая может быть проведена через наиболее удалённую точку 2₂ линии пересечения.

Ввиду того, что точка 2 определяется с помощью общей плоскости симметрии Ф(Ф₁), нет необходимости использовать сферу наибольшего радиуса. Определение промежуточных точек линии пересечения можно видеть на примере построения точек 5 и 6. Фронтальные проекции 5₂, 6₂ этих точек получены в пересечении линий a₂ и b₂, которыми изображаются фронтальные проекции соответствующих окружностей a и b как принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере-посреднику, соосной с данными поверхностями. Горизонтальные проекции 5₁, 6₁ точек 5 и 6 построены при помощи окружности-параллели а конуса с осью i.

Вспомогательные сферы-посредники могут быть и эксцентрическими, т.е. имеющими различные центры. Они применяются при следующих условиях:

1) из двух пересекающихся поверхностей одна является поверхностью вращения, а другая имеет семейство круговых сечений;

2) оси поверхностей в общем случае не пересекаются;

3) поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

Лекция 4.4

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия – кривая четвёртого порядка. В ряде случаев кривая распадается на несколько линий более низких порядков. Для технических задач важно распадение на две кривые второго порядка, на две плоские кривые. Условия, при которых это возможно, выражены в следующих теоремах.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и ещё по одной кривой, которая тоже является плоской.

Рассмотрим пример (рисунок 82). Круговой конус и цилиндр второго порядка имеют общее круговое "основание" m(m₁, m₂). Значит, эти поверхности пересекаются по одной плоской кривой.

Вторую кривую пересечения найти легко, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна плоскости проекций П₂, а поэтому искомая кривая на этой плоскости изобразится одной прямой. Для её построения достаточно двух точек – А(А₂) и В(В₂). Следовательно, вторая часть линии пересечения будет частью эллипса АВ(А₂В₂); по её фронтальной проекции легко достраивать и горизонтальную проекцию.

Рисунок 82 – Особый случай пересечения поверхностей второго порядка

Теорема 2 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (второго порядка), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

Пример, иллюстрирующий эту теорему, приведён на рисунке 83.

Рисунок 83 - Особый случай пересечения поверхностей второго порядка

Пересекаются круговой и эллиптический цилиндры, соприкасающиеся в точках А(А₁, А₂) и В(В₁, В₂). Плоские кривые пересечения изображаются на фронтальной плоскости проекций прямыми D₂E₂ и C₂F₂, так как эти кривые лежат в плоскостях, проходящих через прямую АВ(А₁В₁, А₂В₂) и поэтому фронтально проецирующих.

Теорема Г. Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Рисунок 84 – Пересечение поверхностей, описанных около сферы

Рисунок 85 – Пересечение поверхностей, вписанных в сферу

Рассмотрим пример (рисунок 85).

Пересекаются круговые конус и цилиндр, описанные около сферы. Линиями пересечения будут два эллипса, изображающиеся во фронтальной проекции прямыми А₂В₂ и С₂D₂.

На рисунке 85 показано пересечение сжатых эллипсоидов вращения, вписанных в общую сферу.

Теорема Г. Монжа представляет частный случай теоремы о двойном прикосновении.

Лекция 4.5

Касательные линии и плоскости к поверхности

Касательной к поверхности называется такая прямая, которая касательна к какой-нибудь кривой, лежащей на поверхности.

Касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проведенных к поверхности в одной точке.

Для построения касательной плоскости в данной точке поверхности с помощью прямых достаточно в этой точке провести к поверхности две касательные прямые. Их можно построить с помощью каких-либо двух простых по форме плавных кривых, проведенных через данную точку (рисунок 86).

Рисунок 86 – Построение плоскости, касающейся сферы

в точке М на её поверхности

Развёртки поверхностей. Основные свойства развёртки поверхностей. Способы построения разверток

Если поверхность, представляемую в идее гибкой нерастяжимой оболочки постепенно деформировать и совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни разрывов ни складок, то такую поверхность называют развертывающейся. Фигуру, полученную от совмещения поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Если при таких условиях рассматривать поверхность и её развертку как точечные множества, то между этими множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Это соответствие обладает следующими важными свойствами:

1. Длины двух соответствующих линий развертки и поверхности равны между собой.

2. Углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны.

3. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивает одинаковую площадь. Из этого следует, что площадь развертки равна площади самой поверхности.

Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке, параллельные прямые переходят тоже в параллельные. В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что линейчатая поверхность развертывающаяся, если касательная плоскость проведенная в какой-нибудь точке поверхности, касается её во всех точках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку.

Линия между двумя точками развертывающейся поверхности, соответствующая прямой на её развертке, является кратчайшей линией между этими точками.

Способом нормального сечения можно строить развертки призм и цилиндров (рисунок 87).

Рисунок 87- Способ нормального сечения

Рисунок 88- Способ раскатки

При использовании способа раскатки (для призм и цилиндров) нужно, чтобы поверхность была задана относительно плоскостей проекций так, что её образующие параллельны одной их этих плоскостей, т.е. занимают положение линий уровня (рисунок 88). Способ триангуляции (способ треугольников) применяют для построения развёрток всех линейчатых поверхностей, кроме цилиндрических поверхностей. Сущность способа заключается в том, что кривую линейчатую поверхность заменяют вписанной многогранной с треугольными гранями (рисунок 89).

Рисунок 89 – Способ триангуляции (пирамид и конусов)

Заключение

Как видно, с помощью метода проекций изучаются геометрические закономерности и пространственные формы фигур, из разных сочетаний которых состоят технические детали.

Следовательно, предметом начертательной геометрии является разработка способов построения изображений (чертежей) пространственных форм на плоскости.

Поэтому наиболее существенными требованиями, предъявляемыми к чертежам являются следующие:

1) чертеж должен быть наглядным, т.е. должен давать пространственное представление изображаемого предмета;

2) чертёж должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета;

3) чертёж должен быть достаточно простым с точки зрения его графического выполнения;

4) графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

Список литературы

1. Начертательная геометрия: Учебник для вузов/Н.Н Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л.Николаев, В.Е.Васильев; Под ред. Н.Н.Крылова.- 7 изд., перераб . доп.-М.:Высшая школа,2001.-224 с.

2. Щеглова Р.А., Семено В.А. Краткий курс начертательной геометрии и компьютерной графики:- Уфа: Изд-во УГНТУ, 2000.-163 с.

3. Королёв Ю.И. Инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия: Учеб. пособие.-Уфа: Изд-во УГНТУ, 2002.-239с.