Глава 1

Дилеммы философии геометрии

Трудно рассчитывать, что нам удастся в небольшой главе рассказать о той поразительной эволюции, которая произошла в философии геометрии за прошедшее столетие. Однако, поскольку именно в сфере геометрического мышления диалектика и синтез проявляют себя яснее, систематичнее, чем в любой другой области научного мышления, следует предпринять подобную попытку. Для этого мы должны последовательно рассмотреть две проблемы, не упуская из виду психологической стороны дела.

Во-первых, раскрыть действительную диалектику мысли, благодаря которой появляется неевклидово вuдение мира; диалектику, вновь открывшую рационализм и сумевшую потеснить тем самым психологию закрытого разума, опиравшегося на неизменные аксиомы.

Во-вторых, нам нужно выявить возможные условия синтеза различных форм геометрии, что приведет нас, с одной стороны, к рассмотрению проблемы связей, существующих между ними, а с другой - к характеристикам идеи группы. При этом, поскольку последняя идея завоевала себе постепенно место в механике и физике, мы должны будем обратить особое внимание - под углом зрения синтеза - на связь теоретического и опытного аспектов в геометрической мысли. Нам представляется, что эпистемологическая проблема, которая появляется в связи с использованием неевклидовой геометрии в математической физике, в корне отличается от простой проблемы логичности. В этом смысле "философское заблуждение" А. Пуанкаре характеризует как бы суть этого отличия на фоне психологического переворота, совершенного новым научным веком. Мы коснемся этого "заблуждения" в параграфе III настоящей главы.

I

Наступлению эпохи смуты предшествовал длительный период своего рода единства геометрической мысли. Начиная с Евклида, в течение двух тысяч лет геометрия обрастала, несомненно, многочисленными добавлениями, но основа мышления оставалась прежней; можно было действительно поверить, что это базовое геометрическое мышление лежит в основе человеческого разума. Во всяком случае, создавая свое представление об архитектонике разума, Кант исходит из тезиса о неизменном характере геометрической структуры. Но если геометрия разделяется, то ясно, что его представление могло сохраниться, только включив принципы такого разделения в сам разум, раскрыв рационализм, сделав его способным изменяться. В этой связи математическое гегельянство было бы историческим нонсенсом.

Короче говоря, нас не может не удивить, что диалектические тенденции появляются почти одновременно и в философии, и в науке. Очевидно, такова судьба человеческого разума. Как заметил Холстед (Halsted), "открытие неевклидовой геометрии в 1830 г. было неизбежным". Рассмотрим вкратце, как в конце XVIII в. подготавливалось это открытие, не забывая об эпистемологической природе проблемы.

Еще Ж. Л. Д'Аламбер относился к постулату Евклида о параллельных как к теореме, требующей доказательства. В том, что эта теорема соответствует истине, определенному математическому факту, никто не сомневается. Другими словами, для всех геометров вплоть до XIX в. параллельные существуют. Обычный, повседневный опыт оправдывал это понятие как непосредственно, так и путем следующих из него косвенных выводов. Вызывало, однако, ощущение неудовлетворенности то, что все еще не удалось связать эту простую теорему с совокупностью доказанных теорем; повторяю, само существование параллельных никогда не ставилось под сомнение. Как раз здесь, в этой скороспелой реалистской оценке ситуации, коренилось глубокое непонимание сути проблемы. Это непонимание продолжает существовать даже тогда, когда намечается путь к открытию. Саккери (Saccheri) и Ламберт в XVIII в., Тауринус (Taurinus) и де Тилли (de Tilly) намного позже, в XIX в, все еще пытаются доказать тезис о параллельных в качестве теоремы, истины, которую нужно обосновать и утвердить. Но тем не менее существенный элемент сомнения у них появляется, хотя сомнение это предстает еще только как разновидность способа доказательства (имеется в виду "доказательство от противного". - Ред.). Эти математики начинают задаваться вопросом о том, что случится, если отбросить или изменить понятие параллельных. Их метод доказательства постепенно принимает форму способа приведения к нелепости, рассуждения на основе абсурдности. Так, Ламберт, не ограничиваясь тем, чтобы связать друг с другом странные заключения - например, признавая, что на поверхности треугольника действует некоторая вариация евклидовых положений, - кроме этого, предполагает, что логика не будет, вероятно, нарушенной и при дальнейшем развитии неевклидовых рассуждений, довод в пользу этого предположения он находит в аналогии свойств бесконечных (непрерывных) прямых на плоскости и окружностей большого радиуса на сферической поверхности. Многие теоремы равным образом применимы и к первому и ко второму случаю. Следовательно, можно заметить, как образуется логическая цепочка, независимая от природы звеньев, которые в нее входят. Еще точнее формулирует эту же мысль Тауринус, говоря, что "большие окружности на сферической поверхности имеют свойства, весьма схожие со свойствами прямых на плоскости, за исключением свойства, выраженного в шестом постулате Евклида: две прямые не могут образовать замкнутого участка пространства"7; этот последний часто считают эквивалентом классического постулата о параллельных.

Эти простые наметки, эти совершенно первичные формы неевклидова мышления уже позволяют нам ощутить общую философскую идею новой свободы математического мышления. Действительно, уже на этом материале можно понять, что роль некоторых сущностей первичнее их природы, а сущность не предшествует отношению, она современна ему. Таким образом, проблема, поставленная требованием Евклида, будет понятна, если рассмотреть роль, которую играют прямые на плоскости, а не пытаться исследовать их природу в качестве абсолюта или бытия; т. е. когда научаются, варьируя применение, обобщать функцию понятия прямой на плоскости, когда обучаются применять понятия за границами их первоначальной, исходной сферы. Тогда оказывается, что простота - это отнюдь не неотъемлемое качество некоего понятия, как считает картезианская эпистемология, а лишь внешнее и относительное свойство, возникающее одновременно с применением и рассмотренное в особом отношении. Поэтому можно было бы с некоторой долей парадоксальности, видимо, сказать, что исходным пунктом неевклидова способа мышления является очищение и упрощение и без того чистого и простого понятия. В самом деле, если вдуматься в замечание Тауринуса, то возникает следующий вопрос: не означает ли прямая, поставленная в связь с другой, параллельной ей, особой прямой, прямой, более богатой, - короче, не есть ли она уже сложное (составное) понятие, поскольку, с точки зрения функциональной, большая окружность на сфере, аналогичная прямой на плоскости, не может иметь параллельных ей. Именно это выразил П. Барбарэн, напоминая, что еще в 1826 г. Тауринус высказал мнение, что "если пятый постулат Евклида неверен, то, по-видимому, могут существовать искривленные поверхности, на которых некоторые кривые имеют свойства, аналогичные свойствам прямых на плоскости, кроме свойства, выраженного в пятом постулате; смелая догадка, подтвержденная спустя сорок лет в результате открытия Бельтрами псевдосферы"8. Следовательно, если прямые рассматриваются как геодезические линии на евклидовой плоскости, мы неизбежно будем возвращаться к ведущей идее Тауринуса, которая состоит в том, чтобы перевести математические понятия в область более широких смыслов (и соответственно область менее понятную), и трактовать понятия только в соответствии с их строго определенной функциональной ролью.

Прежде всего не стоит спешить распространять трактовку в духе математического реализма с линии на поверхность и воображать, что только принадлежность линии некоторой поверхности придает линии характер реальности. Проблема математической реальности более скрыта, менее непосредственна, более отдаленна и абстрактна. Точнее было бы сказать, что реальность какой-либо линии усиливается, укрепляется ее принадлежностью ко множеству различных поверхностей или - еще лучше - что суть некоего математического понятия измеряется возможностями изменения его содержания, что позволяет расширить область применения этого понятия. Говоря в общей форме, именно то, что обнаруживается как то же самое в самых различных применениях, и может служить основой для определения материальной реальности. Этот факт тотчас же обнаруживается, когда обращаются к исследованию математической реальности. Следовательно, здесь нужно выделить один момент - то, что мерой математической реальности является скорее широта области применения понятий, нежели их понятность. Математическая мысль приобретает свой действительный размах с принятием идеи изменчивости, связи, возможности различных применений. Разве это не вершина диалектической игры мысли, когда расширение сферы применения достигает максимального размаха, а преобразование понятий объединяет самые несхожие, самые далекие друг от друга формы?

Именно в такой деятельности дух может установить степень своей связи с математической реальностью. Обратимся к тому, что было определяющим в неевклидовой революции.

В сравнении с изысканиями Ламберта в построениях Лобачевского и Бояи заключена более смелая диалектика. Это связано с тем, что цепь теорем, которые вытекают из неевклидова варианта теоремы о параллельных, тянется все дальше и дальше и все более освобождается от того, чтобы руководствоваться аналогиями. Можно сказать, что в течение 25 лет Лобачевский скорее занимался расширением сферы своей геометрии, чем ее обоснованием. Но так же верно, что ее можно обосновать лишь в ходе расширения. Кажется, Лобачевский хотел доказать существование движения, двигаясь. Но можно ли справиться с видимым противоречием, продолжая таким образом дедукции, исходя из предпосылки, которую с самого начала можно было бы квалифицировать как абсурдную? Вот вопрос, поднимающий множество проблем на стыке эпистемологии и психологии. Со строго эпистемологических позиций начала неевклидовой геометрии излагают обычно следующим образом.

Поскольку прямо доказать евклидово положение не удается, примем его за истину, к которой нужно прийти посредством приведения к абсурду. Для этого заменим это положение на противоположное и осуществим необходимую процедуру выводов, исходя из изменившейся системы постулатов. Разумеется, полученные выводы будут противоречить исходным посылкам. Но поскольку рассуждение верно в логическом отношении, неверным будет исходный тезис. Следовательно, нужно вернуться к положению Евклида, которое тем самым будет доказано.

Но это эпистемологическое резюме быстро теряет характер убедительности, стоит нам обратиться к Пангеометрии Лобачевского 1855 года. В этом случае мы не только замечаем, что никакого противоречия не появляется, но и вскоре отдаем себе отчет в том, что перед нами - возможность открытой дедукции. В то время как в случае трактовки какой-либо проблемы способом "от противного" мы достаточно быстро приходим к заключению, где абсурдность становится очевидной, система дедуктивных заключений, предпосылкой которой является диалектика Лобачевского, предстает для сознания ученика как все более солидная. Говоря психологическим языком, больше нет оснований ждать противоречия в цепи рассуждений как Лобачевского, так и Евклида. Со временем эта эквивалентность будет показана благодаря работам Клейна и Пуанкаре, но она обнаруживается уже в психологическом плане. Здесь есть небольшой нюанс, которым обычно пренебрегают философы, выносящие суждения на основании окончательных результатов. Если мы хотим проникнуть в суть новой диалектики научного духа, нам нужно жить ею именно в плане психологическом, как в психологической реальности, обучаясь в ходе первоначального формирования дополнительных мыслей.

Резюмируя, можно, следовательно, сказать, что всякий психолог научного духа должен действительно пережить то странное раздвоение геометрической личности, которое происходило в математической культуре в течение последнего столетия. Тогда станет понятно, что более или менее скептический тезис относительна "математического конвенционализма" очень плохо выражает мощную диалектику, свойственную различным геометрическим идеям.

Проблемы, касающиеся обобщения математических понятий, предстают в другом свете, когда принимается во внимание существенная диалектичность геометрического мышления. В письме, адресованном де Тилли (1870 г.), Уэль (Houлl) характеризует этот процесс обобщения остроумным аналитическим сравнением: "Последователи Евклида считали, что их геометрию отрицают, в то время как ее лишь обобщили; Лобачевский и Евклид могли бы прекрасно договориться. Обобщенная геометрия... это метод, аналогичный тому, которому следовал бы аналитик, который, получив общее решение дифференциального уравнения некоторой задачи, обсуждал бы это общее решение до того, как придать частные, конкретные значения константе в соответствии с данными задачами, что никоим образом не значит отрицать тот факт, что произвольная константа в конечном счете должна получать то или другое определенное значение. Что же касается отсталых евклидовцев, т. е. тех, кто ищет доказательств для Постулатов, то лучше всего сравнить их с теми, кто ищет в самих дифференциальных уравнениях определения постоянных интегрирования"9. Прекрасное сравнение, указывающее на обобщающую силу аксиоматики: некое дифференциальное уравнение получается путем отвлечения от частных значений констант; его общее решение включает все возможности; пангеометрия элиминирует допущения, которые могут делаться произвольно - точнее, нейтрализует их в силу одного того, что стремится дать систематический список всех допущений. Она есть продукт дополняющей мысли. Геометрию Евклида вновь обнаруживают на ее месте, в составе некоего класса, как частный случай.

Множественность геометрий каким-то образом способствует деконкретизации каждой из них. Реализм идет от одного вида к совокупности. Показав инициирующую роль диалектики в геометрическом мышлении, нам нужно, следовательно, изучить способность синтезировать и связывать, свойственную точным и полным формам диалектики.

II

Эту связность, как единственно возможную основу реализма, нельзя обнаружить, исследуя особую форму, сосредоточив, например, внимание только на евклидовой проблеме. Ее следует искать в том, что имеется общего в противоположных геометриях. Нужно исследовать установленное соответствие между этими геометриями. Математическая мысль обретает реальность, как раз делая геометрии связанными друг с другом. Математическая форма распознается таким же способом, посредством ее трансформаций. Обращаясь к математическому объекту, можно сказать: "Скажи мне, как тебя преобразовать, и я скажу тебе, что ты такое".

Известно, что эквивалентность различных геометрических фигур была окончательно установлена, когда было найдено, что они связаны с одной общей алгебраической формой. И когда это было установлено, больше не нужно было опасаться противоречия, якобы присущего как системе Лобачевского, так и системе Евклида, поскольку геометрическое противоречие любого происхождения непременно проявилось бы в алгебраической форме и отсюда - во всех других геометриях, связанных друг с другом. Опорный камень здания очевидности - это алгебраическая форма. В итоге алгебра собирает воедино все отношения - и ничего, кроме отношений. И именно в качестве отношений разные геометрии являются эквивалентными. Именно будучи отношениями, они обладают известной реальностью, а не в силу связи с неким объектом, опытом, наглядным образом. Попытаемся раскрыть, с одной стороны, процесс деконкретизации исходных понятий, а с другой - процесс конкретизации отношений между этими обесцвеченными понятиями.

В том, что касается первого процесса, обратимся к содержательным страницам книги Г. Жювэ, посвященным аксиоматике. Жювэ пишет, что физика исходит из понятий, достаточно далеких от непосредственного опыта, и показывает, как эти понятия постепенно очищаются, схематизируются, отнюдь не обогащаясь в плане наглядности в ходе теоретического размышления. Физика таким образом достигает своих наиболее развитых и полных теорий, редуцируя объем понятий как раз к масштабу атрибутов, которые делаются видимыми при расширении этих теорий. "Лишь еще больше освобождая эти понятия от их атрибутов, можно избегнуть тех антиномий, которые проистекают из слишком большого объема, который им вначале приписывали"10. В случае геометрии такое освобождение заходит так далеко, что предлагается запретить всякое обращение к опыту, в связи с чем Жювэ вспоминает исходную позицию аксиоматики Д. Гильберта: "Существуют три группы объектов, которые мы назовем: объекты первой группы A, В, С..., объекты второй группы а, b, с... и объекты третьей группы ?, ?, ?... Позже окажется, что прописные буквы представляют точки, строчные - прямые, а греческие - поверхности элементарной геометрии"11. Таким образом приняты все меры предосторожности для того, чтобы объем объектов был, если так можно выразиться, точно по их мерке и ни на йоту не отличался от того, какой был объем вещественного (субстанциального) источника. Другими словами, тут речь идет только о качестве отношений, а никоим образом не о субстанциальных качествах.

Но если отношения не коренятся в объектах и если объекты "приобретают" свои свойства позже, лишь вместе с привнесенными отношениями, то можно задать следующий вопрос: откуда в таком случае берутся эти отношения? Здесь еще господствует случайность, поскольку независимость постулатов, призванных связывать объекты, должна быть абсолютной, и любой постулат должен быть заменимым на противоположный. Одно-единственное отношение не может, следовательно, стать основанием реалистской позиции, опираясь на которую защищают право (из предположения о наличии некоей субстанциальной реальности) делать вывод о предпочтительности какого-либо отношения перед противоположным. Лишь когда скопище отношений обнаруживает их связность, эта мысль о связности мало-помалу начинает дублироваться потребностью в полноте, которая определяет поиск добавочных дополняющих моментов. Так начинается синтезирующая деятельность, которая стремится завершить комплекс отношений: это значит, что геометрическое мышление создает впечатление некоей тотальности и что только теперь связность мысли предстает как дублирующая некую объективную спаянность. Мы достигаем здесь точки, в которой появляется реальное в математическом смысле. Но это реальное никоим образом не современник "первичных объектов" и не предшествует отношениям, взятым поодиночке. Лишь когда многочисленные отношения требуют дополнения, тогда и можно увидеть в действии эпистемологическую функцию, существенную во всякой реализации.

В самом деле, что такое вера в реальность? Или что такое идея реальности, какова первичная метафизическая функция реального? Очевидно, прежде всего, это убеждение в том, что сущность превосходит свою непосредственную данность, или, если выражаться яснее, убеждение, что можно обнаружить гораздо больше в скрытой реальности, чем в очевидно данном. Понятно, что в области математики эта реализаторская функция действует особенно тонко; именно здесь ее труднее всего выявить, хотя, с другой стороны, и поучительно это сделать, чтобы понять. Пусть мы следуем в этой связи, например, гильбертовскому номинализму, превратившись на секунду в абсолютных формалистов. Тогда все прекрасные объекты геометрии и все прекрасные формы должны быть, конечно, забыты нами, и все вещи должны рассматриваться как буквы! Или пусть мы окажемся, далее, на позициях абсолютного конвенционализма с его ясными отношениями, выступающими в виде слогов, жестко соединенных в форму абракадабры! Ведь так представляют нередко процесс развития, символизации и очищения математики! Однако сам математик предпринимает поэтическое усилие - творческое, реализаторское, - и неожиданно, как в акте откровения, вдруг все эти соединившиеся слоги образуют живое слово, говорящее от имени Разума, которое находит в Реальности вещь, что и надлежало вызвать. Это внезапно появляющееся семантическое значение по своей сути целостно - оно появляется тогда, когда фраза закончена, а не тогда, когда она началась. Таким образом, в момент, когда понятие предстает как всеобщность, целостность, оно и играет роль некоей реальности. Читая некоторые страницы математических работ Дж. Пеано, Пуанкаре жаловался, что не понимает его языка. Видимо, потому, что он воспринимал его буквально, в конвенциональной разобщенности, как некий словарь, который реально использовать не хотят. Достаточно применить формулы Пеано, чтобы почувствовать, что они дублируют мысль, упорядочивая, буквально увлекают ее за собой, хотя трудно понять, откуда исходит эта сила психологического влечения, поскольку диалектика формы и содержания играет во всем процессе нашего мышления, безусловно, более важную роль, чем это обычно считают. Во всяком случае, эта сила влечения существует. Поэтому, если бы мы ничего еще не знали о математическом мышлении в плане обыденного опыта, нам было бы крайне сложно исследовать поэтическую трансцендентность языка Пеано. Как справедливо заметил Жювэ: "Строя некую аксиоматику, стремятся избежать того, что наука, подлежащая обоснованию, уже приняла в свой состав, - хотя именно по поводу известных вещей аксиоматику и создают"12. Однако не менее верно и другое, что новое математическое мышление связано с характерным раздвоением. Отныне аксиоматика сопровождает развитие науки. И хотя это сопровождение пишут после создания мелодии, современный математик играет двумя руками. И здесь перед нами игра существенно нового типа; она нужна в разных плоскостях познания; подсознательное возбуждается, но по ходу дела. Слишком просто без конца повторять, что математик не знает, о чем он говорит, в действительности он притворяется, что он об этом ничего не знает, он должен говорить, как будто он этого не знает, сдерживая свое воображение и подгоняя опыт. Евклидов подход остается наивным мышлением, которое всегда будет использовано в качестве основы для генерализации. "Весьма примечательно, - пишет А. Буль, - что достаточно слегка углубить некоторые аспекты евклидовой геометрии, чтобы увидеть возникновение другой геометрии и даже возникновение намного более общих геометрий"13. Будучи рассмотрено в этой перспективе обобщений, геометрическое мышление предстает как тенденция к полноте. Именно в полноте находит оно связность и знак законченной объективации.

Аксиоматический эпюр, составляющий подоснову геометрической мысли, опирается в свою очередь на более глубокое основание, являющееся исходной базой психологии математического мышления. Эта база - идея группы. Всякая геометрия - и, вне сомнения, вообще всякая математическая организация опыта - характеризуется особой группой преобразований. Новый довод в пользу тезиса, что математический объект определен посредством критериев, имеющих отношение к преобразованиям. Когда мы рассматриваем, например, евклидову геометрию, то перед нами особенно ясная и простая группа; может быть, настолько простая, что мы даже не замечаем сразу ее теоретической и экспериментальной значимости. Эта группа, как известно, группа перестановок. С ее помощью определяется равенство двух фигур, лежащее в основе метрической геометрии: две фигуры считаются равными, если после наложения они совпадут. Очевидно, что две следующие друг за другом операции перестановки могут быть заменены одной, представляющей производную от двух первых; любая серия любых перестановок может быть также при этом заменена одной-единственной. Такова причина того, что перестановки образуют группу.

Однако является ли эта истина опытной или рациональной? Не поразительно ли, что можно ставить перед собой такой вопрос и таким образом помещать идею группы в центр диалектического взаимодействия разума и опыта? В самом деле, есть довод в пользу того, что идея группы или, точнее, идея совокупности объединенных в группу операций отныне представляется общей основой физического опыта и рационального исследования. Математическая физика, встроив в свое основание понятие группы, отмечена превалированием рационального начала. Следует понять это, размышляя о структуре той первой математической физики, каковой является евклидова геометрия. Как верно сказал Жювэ: "Опыт показывает... что эти перестановки не изменяют геометрических фигур, но аксиоматика доказывает это фундаментальное положение"14. Доказательство важнее констатации.

Пока группа не связана с определенной аксиоматикой, нет уверенности, что последняя действительно представляет собой полный список постулатов. "Если некая группа представлена геометрией, ее аксиоматика непротиворечива в той мере, в какой не оспариваются теоремы Анализа. С другой стороны, аксиоматика некоторой геометрии будет полной лишь тогда, когда она действительно выступает как точное представление некоторой группы; коль скоро не найдена группа, которая является ее рациональной основой, эта аксиоматика неполна или, быть может, даже противоречива"15. Иначе говоря, группа представляет замкнутой математической системе доводы в пользу самой этой системы. Ее открытие приносит конец эре конвенций, более или менее независимых друг от друга, более или менее связанных друг с другом.

Физические инварианты, опирающиеся на структуру групп, придают, на наш взгляд, рациональное, а отнюдь не реалистское значение принципу преемственности, обнаруженному Э. Мейерсоном в основе физических явлений. Во всяком случае, именно здесь математизация реального в самом деле оказывается оправданной и образует процесс органической преемственности, на что указывал еще Жювэ: "В бурном потоке явлений, в постоянно меняющейся реальности физик усматривает преемственные связи; чтобы описать их, его ум конструирует геометрические структуры, разные формы кинематики, механические модели, аксиоматизация которых имеет целью уточнить... то, что за неимением подходящего термина мы назовем полезным пониманием различных понятий, формирование которых было связано с опытом и наблюдением. Если построенная таким образом аксиоматика есть представление группы, инварианты которой годятся для перевода, в реальность преемственностей, которые опыту предстоит открыть, то физическая теория свободна от противоречий и представляет собой образ реальности"16. Жювэ сближает соображения относительно групп с исследованиями Кюри относительно симметрий. Он заключает: здесь сразу перед нами и метод и экспликация.

III

Итак, абстрактные схемы - производные от аксиоматик и соответствующих групп - определяют структуру различных областей математической физики, и нужно вновь подняться до уровня групп, чтобы увидеть четко те отношения, в которых находятся друг к другу эти области математической физики. В частности, отдавать преимущество евклидовой геометрии здесь не более оправданно, чем отдавать преимущество группе перестановок. Ведь эта группа относительно бедна; не случайно она уступила свое место более богатым группам, более пригодным для того, чтобы дать рациональное описание тонкого опыта. Поэтому понятно, почему все отвергают мнение Пуанкаре, который считал евклидову геометрию наиболее удобной. Оказалось, что это не совсем так. Поразмыслив, можно не ограничиваться только советом быть поскромнее, предсказывая судьбы человеческого разума17. Очищая разум, можно прийти к настоящему перевороту ценностей в области рационального и увидеть, что абстрактное мышление в современной физике имеет определяющее значение. Напомним кратко позицию Пуанкаре и отметим новую черту эпистемологии по сравнению с этой частной точкой зрения.

Когда Пуанкаре доказывал логическую эквивалентность разных геометрий, он утверждал, что геометрия Евклида всегда будет считаться самой удобной и в случае ее конфликта с физическим опытом исследователи всегда будут предпочитать изменение физической теории перестройке принципов элементарной геометрии. Так, Гаусс намеревался экспериментально проверить с помощью астрономических наблюдений одну из теорем неевклидовой геометрии, поставив перед собой следующий вопрос: действительно ли сумма углов треугольника, фиксируемого на звездах, т. е. имеющего гигантские размеры, обладает свойством уменьшаться, как это следует из геометрии Лобачевского. Пуанкаре не считал подобное измерение решающим экспериментом. Если он будет проведен, говорил он, то тогда можно будет сказать, что световой луч как физическая сущность подвергается искривлению, что он не распространяется в данном случае по прямой. Евклидова геометрия будет спасена в любом случае.

В главе, которую мы посвятим некартезианской эпистемологии, мы постараемся полнее охарактеризовать это мышление, прибегающее к аргументам об отклонениях, одну из попыток которого утвердить априорную ясность мы только что видели. В целом, такой способ мышления сводится к тому, чтобы представить в качестве неизменной перспективу интеллектуальной ясности, обрисовать дело так, что будто бы существует некоторая плоскость наиболее ясных мыслей, которая всегда выступает как первичная, что эта плоскость должна оставаться отправной базой для любых последующих исследований, что они могут появляться, только отправляясь от этой основы начальной ясности. Какой же метод должен быть присущ физической науке, если исходить из подобной эпистемологии? Нужно стремиться обрисовать опыт в его крупных чертах; подчинить феноменологию элементарной геометрии; обучать разум обращению с устойчивыми формами, не обращая внимания на уроки изменений. Лишь таким образом вся евклидовская инфраструктура, которая складывается в разуме, прочно увязывается с опытом обращения с твердыми телами, природными и искусственными. Лишь отталкиваясь от этой геометрической бессознательной основы, определяют затем отклонения, обнаруживаемые в физическом эксперименте.

Как об этом очень хорошо говорит Гонсет: "Ошибки и отклонения определены в намерении - в общем, несознаваемом - сделать всю систему измерений интерпретируемой с минимальными искажениями посредством геометрии Евклида"18.

Но является ли эта геометрическая структура, которая считается вечной характеристикой человеческого мышления, действительно определяющей? Отныне это можно отрицать, поскольку современная физика на деле конституирует себя, основываясь на неевклидовых схемах. Для этого требуется, чтобы физик подошел к новой области со всей независимостью разума, после того как евклидовы устремления подверглись психоаналитическому выявлению. Это новое учебное поле - микрофизика. Мы покажем в дальнейшем, что соответствующая ему эпистемология не является вещистской. Здесь же просто подчеркнем, что элементарный объект микрофизики не есть твердое тело. Электрические частицы, из которых образована вся материя, больше нельзя рассматривать в качестве настоящих твердых тел. И это не просто утверждение в духе реализма, которое имело бы не больше ценности, чем вещистское утверждение реалистски ориентированного атомизма. Из своей установки современный физик черпает глубокие доводы, весьма характерные для нового мышления, в пользу того, что электрическая частица, в сущности, не имеет формы твердого тела, поскольку при движении она деформируется. О ней судят - насколько это возможно - на основании математического преобразования, преобразования Лоренца, которое не принимает в расчет группу перестановок, свойственную евклидовой геометрии. Разумеется, геометрическая интерпретация физики электричества может быть предпринята и на евклидовой почве. Для этого придется вообразить особое сжатие; но это абсолютно неэффективный путь, пустая трата времени, поскольку невозможно ясно представить в воображении сжатие того, что является сплошным. Лучше перевернуть перспективу видения ясности и судить о вещах как бы извне, исходя из математической необходимости, о которой говорит фундаментальная группа. Так, вместо того, чтобы в первую очередь думать о твердых неизменных телах, знакомых нам на основании грубого повседневного опыта и изученных в практике простых евклидовых перемещений, микрофизика занята тем, что думает о поведении элементарного объекта в прямом согласии с законом Лоренцовых преобразований. И кроме того, микрофизика принимает, в качестве частного случая, евклидово толкование явлений только в виде упрощающей картины. В этом упрощенном образе она ясно видит искажения, неполноту, функциональную бедность. Психологически современный физик отдает себе отчет в том, что рациональные привычки, сформировавшиеся на основе нашего повседневного опыта и практической деятельности, по существу чреваты застойностью, которую и необходимо преодолеть, чтобы снова вернуться к движению духа, способного делать открытия.

Если вообще стоит придавать соображениям удобства какое-то значение, то следовало бы сказать, что часто наиболее удобной, наиболее экономной и наиболее ясной для интерпретации экспериментальных данных в области микрофизики является риманова геометрия. При этом речь не идет, разумеется, о двух языках или двух образах и еще меньше - о двух видах пространственной реальности; речь идет о двух планах абстрактного мышления, двух различных системах рациональности, двух методах исследования. Путеводной нитью теоретической мысли является отныне группа. Вокруг некоторой математической группы можно всегда организовать экспериментирование. Именно этот факт дает представление о реализаторской ценности математической идеи. Старая диалектика евклидова и неевклидова подходов перемещается в более глубокую область физического опыта. Вся проблематика научного познания реального задается выбором некоей начальной математической структуры. Если хорошо понято (как это следует, например, из работ Гонсета19), что экспериментирование находится под воздействием некоей предварительной мыслительной конструкции, то именно в абстракции ищут доводы в пользу связности конкретного. Список возможностей опыта определяется аксиоматиками.

Таким образом, к психоматематической культуре приходят, воскрешая в памяти рождение неевклидовой геометрии, которая была первым случаем диверсификации аксиоматик.