5

Основы электротехники и электроники Лабораторная работа n 2 Расчет электрических цепей методом контурных токов и узловых потенциалов

Цель работы: привить практические навыки расчета электрических цепей методом контурных токов и узловых потенциалов.

1. Теоретическая часть

1.1. Метод контурных токов

При расчете методои контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи веивей через контурные токи. число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа. Следоательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньшее число уравнений).

R₂ R₃ i₁ i₃ i₂ R₁ I₁₁ R₅ I₂₂ R₄ U₁ + U₂ - U₃ + - + - Рис. 1.1.

I₁₁ и I₂₂ - контурные токи. Для каждого из контуров составим уравнеия по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с R₅)течет сверху вниз ток I₁₁-I₂₂.

- U1 + (R₁ + R₂)I₁₁ + R₅(I₁₁-I₂₂) - U₂ = 0 или

(R₁ + R₂ + R₃)I₁₁ + (- R₅)I₂₂ = U₁ + U₂.

Для второго контура

U₂ - R₅(I₁₁ - I₂₂) + (R₃ + R₄)I₂₂ + U₃ = 0 или

(- R₅)I₁₁ + (R₃ + R₄ + R₅)I₂₂ = - U₂ - U₃.

Перепишем эти уравнения следующим образом

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ = U₁₁ ü (1.1)

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ = U₂₂ þ

Здесь R₁₁= R₁ + R₂ + R₅, R₂₂= R₃ + R₄ + R₅, R₁₂=R₂₁=-R₅,

U₁₁= U₁ + U₂, U₂₂ = - U₂ - U₃.

Решая систему линейных алгебраических уравнений (1.1) находим токи I₁₁ и I₂₂. Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это будет означать, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами( в ветви с сопротивлениями R₁, R₂ и R₃, R₄), найденный контурный ток будет являться истинным током. В смежных ветвях истинные токи находят через контурные В ветви с сопротивлением R₅ протекающему сверху вниз ток равен разности I₁₁ - I₂₂.

Пример 1.1.

Пусть в схеме на рис.1.1 U₁ = 5 В, U₂ = 10 В, U₃ = 4 В, R₁ = 2 Ком, R₂ = 3 Ком, R₃ = 4 КОм,

R₄ = 6 Ком, R₅ = 10 Ком. Найти токи в схеме.

Решение. R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃ = 2 + 3 + 10 = 15 Ком.

R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅ = 4 + 6 + 10 = 20 Ком.

R₁₂ = R₂₁ = - 10 Ком.

U₁₁ = U₁ + U₂ = 5 + 10 = 15 В.

U₂₂ = - U₂ - U₃ = - 10 - 4 = 14 В.

R₁ i₁ i₃ i₂ I_к I₁₁ R₂ I₂₂ R₃ U₁ - + Рис. 1.2.

Согласно уравнениям (1.1) получим систему

15 I₁₁ - 10 I₂₂ = 15

-10 I₁₁ +20 I₂₂ = -14 .

Умножая первое уравнение на 2 и складывая их получим

20 I₁₁ = 16, I₁₁ = 0.8 мА.

I₂₂ = - 0.3 мА.

I₁ = I₁₁ = 0.8мА,

I₂ = I₁₁ - I ₂₂ = 0.8 - (-0.3) = 1.1мА,

I₃ = -I₂₂ =0.3мА.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками напряжения и сопротивлениями, и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

Для схемы на рис. 1.2 ток источника I_к = I₁₁, т.к. течет согласно направления контурного тока I₁₁. Для определения неизвестного тока I₂₂ достаточно составить одно уравнение

R₂(I₂₂ - I_к) + I₂₂R₃ - U₁ = 0.

I₂₂ = (U₁ + R₂I_к) / (R₃ + R₂).

I₂ = I_к - I₂₂.

Пример 1.2. Пусть U₁= 16В, R₂ = 2ком, I_к =2мА, R₃ = 5 Ком. Тогда

I₂₂ = (16 + 2×2) / (5 + 2) = 2.86 мА. I₂ = 2 - 2.86 = -0.86мА.