Тема лекции.
Момент импульса. Момент силы. Момент инерции тела вращающегося вокруг фиксированной оси. Теорема Гюйгенса — Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела.
В этом разделе будет обсуждаться материал, который также связан с ещё одним законом сохранения. Понятия, которые, рассматриваются в этом разделе, учитывают точку приложения сил и являются необходимыми при описании движения (или условий равновесия) твердых (и не только) тел.
Начнем с определения момента импульса. Моментом импульса материальной точки (частицы) называется следующая величина:
|
(1) |
Здесь
и
— радиус вектор и импульс частицы
соответственно. Из этого определения
видно, что:
Момент импульса является векторной величиной.
Момент импульса зависит от выбора точки (начала координат) относительно которой момент импульса вычисляется. Т.е момент импульса зависит от точки приложения силы (положения материальной точки) в данной системе отсчета.
Прежде всего, поймем, как момент импульса зависит от точки приложения силы. Из определения векторного произведения следует, что модуль (направлением пока не интересуемся) момента импульса равен:
|
(2) |
Р
ис.1
Из Рис.1 следует, что можно
также модуль момента импульса записать,
используя плечо вектора импульса
:
|
(3) |
Т.е. момент импульса не меняется при
перемещении частицы вдоль направления
импульса (момент импульса при этом не
меняется). Это можно показать, используя
свойство, свойство векторного произведения,
согласно которому векторное произведение
равно нулю для параллельных векторов
(угол
равен нулю). Если частица движется так,
что её импульс не меняется, то она
движется с постоянной скоростью
вдоль линии AB на Рис.1,
из которого видно, что и плечо силы не
меняется. В этом случае зависимость
радиус-вектора частицы дается уравнением:
|
(4) |
,А момент импульса равен:
|
(5) |
,Т.е. момент импульса не меняется со временем, т.е. остается постоянным. Итак, мы получили, что момент импульса частицы, движущейся с постоянной скоростью, остается постоянным. А как будет меняться момент импульса, если скорость не постоянна (если на частицу действуют силы). Для этого продифференцируем момент по времени и воспользуемся вторым законом Ньютона:
|
(6) |
Поскольку вектора
и
параллельны, то иx
векторное произведение равно нулю и в
итоге получаем уравнение моментов
для одной частицы:
|
(6) |
Вектор
— называется моментом силы
.
По аналогии с моментом импульса, для
момента силы также можно ввести плечо.
Момент импульса системы частиц равен моменту импульса каждой из частиц:
|
(7) |
Напишем уравнение для изменения момента системы со временем. Для чего найдем производную и воспользуемся вторым законом Ньютона:
|
(8) |
Силу, которая действует на i-ю частицу можно представить в виде суммы сил действующих на неё со стороны других частиц системы и внешней силы:
|
(9) |
В соответствии с этим моменты сил действующих, на систему, также разбиваются на внутренний и внешний:
|
(10) |
Рассмотрим подробнее момент внутренних сил действующих между двумя частицами:
|
(11) |
Согласно третьему закону Ньютона
и это дает:
|
(12) |
Но сила взаимодействия между двумя
частицами
направлена вдоль линии, соединяющей
частиц, т.е. вдоль
(см. Рис.2). Это означает, что момент
внутренних сил для выбранной пары равен
нулю:
|
(13) |
Р
ис.2
Поскольку пара была выбрана произвольно, то полный момент внутренних сил равен нулю. И уравнение моментов для системы имеет вид:
|
(14) |
Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется. Ещё один закон сохранения. Также как и в случае с импульсом систему, момент импульса является векторной величиной, и сохраняются три проекции. Кроме того, если равна нулю проекция внешних сил на какую-то ось, То сохраняется проекция момента импульса на эту ось.
Выясним, как момент сил зависит от
выбора начала координат. Пусть
момент сил при некотором выборе начала
отсчета. Выясним, чему равен момент при
изменении начала отсчета, т.е. при
преобразовании
:
|
(14) |
Где
суммарная внешняя сила, действующая на
систему. Из этого уравнения видно, что
момент внешних сил не зависит от точки,
относительно которой он вычисляется,
если сумма внешних сил равна нулю (хоть
они и приложены к разным точкам системы).
Одним из примеров, такого случая является
случай, когда в системе приложена пара
сил. Пусть к телу в точках с радиус
векторами
и
приложены силы
и
соответственно. И при этом результирующая
сила равна нулю
.
Поскольку в этом случае момент сил не
зависит от точки, относительно которой
он вычисляется, то можно вычислять его
относительно точки (1). И тогда он равен
|
(15) |
Вообще, говоря, уравнения движения твердого тела сводятся к решению следующих систем дифференциальных уравнений:
|
(16) |
Здесь
— скорость центра масс тела (мы это
уравнение получили, когда рассматривали
закон сохранения импульса), а соответствующие
моменты вычисляются в системе центра
масс относительно самого центра масс.
В принципе, совсем не обязательно писать
уравнение для моментов относительно
центра масс. Можно написать уравнение
моментов и относительно любой другой
точки, но, как правило, удобнее писать
это уравнение именно относительно
центра масс. Мы не будем подробно
обсуждать движение твердого тела в
деталях. Достаточно знать, что движение
тела сводится к движению его центра
масс и вращению, которое определяется
моментам внешних сил.