Матан(ответы,)
.docx
Тогда при l<1 ряд сходится, а при l>1, расходится.
При l=1 неопределено.
Даламбера:
Пусть -положительный ряд. Рассмотрим последовательность . Если начиная с некоторого номера , если 0<q<1, ряд сходится. Раабе:
Пусть существует конечный или нет. Если r>1, ряд сходится, если r<1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши:
Ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом , где f(x) определена для любого 1 и
Теорема Лейбница для знакопеременных рядов.
Знакопеременный ряд сходится, если:
1)
2)
Признаки Абеля и Дирихле сходимости числового ряда.
Пусть сходится, числа ограничены в совокупности: ) и образует монотонную последовательность , тогда ряд сходится
Умножение рядов. Теорема Коши.
Пусть даны 2 сходящихся ряда:
(1) и (2). По ним составим таблицу:
Произведением ряда (1) и ряда (2) называется ряд из всех элементов таблицы, взятых в любом заданном порядке.
Теорема Коши:
Если оба ряда (1) и (2) сходятся абсолютно, то их произведение сходится абсолютно и сумма произведения равна AB, где:
А= B=
Поточечная и равномерная сходимость (функциональных последовательностей и рядов).
Пусть дана последовательность функций
Последовательность { } называется сходящейся в точке х из Х, если сходится числовая последовательность { (х)}. Множество Х таких точек называется множеством сходимости функциональной последовательности. На нем определена функция:
она называется предельной.
Сходимость означает, что для фиксированного х из Х
сходится к f, если:
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Пусть ряд сходится и . Тогда ряд сходится равномерно на Х.
Теорема о почленном переходе к пределу.
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Теорема 1: Если , то степенной ряд можно почленно интегрировать на [0, x]
Теорема 2: Степенной ряд можно почленно дифференцировать на (–R, R)
Степенной ряд.
Степенным рядом наз-ся ряд вида:
,
где – постоянные коэф-ты и ряд вида
Промежуток сходимости степенного ряда.
Радиусом сходимости степенного ряда наз-ся число R такое, что при ряд сходится, а при ряд расходится. Промежуток с концами -R,R (с включением концов или нет) наз-ся промежутком сходимости степенного ряда
Теорема Коши-Адамара.
, R= , если =0 R= 0, если
Ряд Тейлора. Ряды Тейлора элементарных функций.
-
ряд Тейлора