- •9.1. Завдання руху твердого тіла
- •9.2 Поступальний рух твердого тіла
- •9.3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
- •9.4. Швидкості і прискорення точок тіла,що обертається навколо нерухомої осі
- •10.1. Кінематичні рівняння руху
- •10.2 Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі
- •10.3* План швидкостей
- •10.5 Прискорення точок тіла при плоскопаралельному русі
10.1. Кінематичні рівняння руху
Пласко паралельним називається такий рух твердого тіла, при якому кожна його точка рухається в одній і тій площині, паралельній деякій нерухомій площині.
Прикладом тіла, що здійснює плоскопаралельний (плоский ) рух може служити циліндр, що котиться по горизонтальній площині (рис. 10.1). Всі точки циліндра переміщуються у площинах, паралельних площині Oyz . Окремі ланки більшості існуючих механізмів здійснюють плоскопаралельний рух.
Рис. 10.1 Рис. 10.2
Розглянемо довільний плоскопаралельний рух твердого тіла. Нехай всі точки тіла переміщуються у площинах, паралельних нерухомій площині Оху . Пересічемо тіло площиною Р , паралельною нерухомій площині. З визначення плоского руху і властивостей твердого тіла випливає, що будь-яка пряма АВ , проведена в тілі перпендикулярно площині Оху, буде переміщуватись поступально, тобто траєкторії, швидкості і прискорення всіх точок цієї прямої будуть однаковими. Таким чином, для визначення руху тіла необхідно знати рух лише однієї точки на кожній прямій, проведеній перпендикулярно площині Оху . Вибравши точки в одній площині, паралельній площині Оху , ми можемо стверджувати, що плоский рух тіла повністю визначається рухом плоскої фігури, одержаної від перетину тіла будь-якою площиною, паралельною площині Оху . Тому в подальшому ми будемо зображати тільки плоску фігуру - переріз тіла і вивчати рух точок тіла цього перерізу у своїй площині.
В свою чергу, положення плоскої фігури в своїй площині, повністю визначається положенням двох яких-небудь її точок, наприклад. А і В , отже відрізком АВ .
Розглянемо плоский рух фігури S у своїй площині (рис. 10.2).
Початок рухомої системи координат Аxy , яка рухається поступально відносно нерухомої Ох1у1 , помістимо в довільну точку фігури А , яку в подальшому будемо називати полюсом.
Рис. 10.2
Рух плоскої фігури буде визначено, якщо будуть задані: функції часу координати точки А(х1А,у1А} і кут повороту плоскої фігури навколо точки А :
(10.1)
Ці співвідношення являють собою кінематичні рівняння твердого тіла, що здійснює плоскопаралельний рух.
Таким чином, плоский рух твердого тіла має три ступені вільності, оскільки рух тіла визначається трьома незалежними параметрами х1Aу1А і і .
10.2 Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі
Нехай В - довільна точка плоскої фігури. Радіус-вектор визначаючий її положення відносно нерухомої системи координат Ox1y1 (рис. 10.3), можна задати з допомогою двох векторів:
Рис. 10.3
Диференціюючи це рівняння за часом, одержимо:
(10.2)
Зазначимо, що , а вектор для спостерігача, що знаходиться в системі координат Аху, цей вектор визначає швидкість точки. Введемо для неї позначення: .
Однак, рух тіла відносно цієї системи координат являє собою обертання тіла навколо нерухомої осі Az , направленої перпендикулярно площині рисунка (рис. 10.3) до читача, тобто швидкість, є швидкість точки В при обертанні тіла навколо осі Az. Для визначення цієї швидкості була одержана формула (8.13), яка записується у вигляді:
де - миттєва кутова швидкість обертання фігури навколо полюса А (навколо осі az ).
Формула (10.2) прийме тепер вигляд
(10.3)
Покажемо, що кутова швидкість обертання фігури не залежить від вибору полюса.
Нехай А і В - дві будь-які точки плоскої фігури. Для визначення швидкостей цих точок можна скористатись формулами (10.3):
Склавши обидві рівності, одержимо:
Замітимо, що вектор перпендикулярний до площини фігури, тобто кут між цим вектором і вектором дорівнює 90°, тому одержана рівність може виконуватись в єдиному випадку, коли . Таким чином, немає необхідності надалі зберігати індекс полюса в позначенні вектора кутової швидкості, тобто
Звідси формула (10.3) може бути записана у вигляді
(10.4)
тобто, швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса і швидкості точки при обертанні плоскої фігури навколо полюса.
Так як , то величина швидкості обертання точки В навколо полюса дорівнює:
(10.4а)
так як вектор - миттєва кутова швидкість обертання фігури направлений перпендикулярно до площини рисунка.
Відмітимо, що вектор перпендикулярний також до АВ . Направлення обертання плоскої фігури навколо полюса залежить тільки від знаку проекції кутової швидкості на вісь Az . Так як , то при обертання проходить проти часової стрілки і при - за часовою стрілкою.
На рис. 10.4 а і б показано як, знаючи швидкість точки А , можна знайти швидкість точки В при і .
Рис. 10.4
З рівності (10.4) витікає одна корисна теорема
Теорема
При плоскому русі проекції швидкостей двох будь-яких точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки, рівні між собою.
Виберемо додатний напрямок для осі АВ , як вказано на рисунку 10.5.
Рис. 10.5
Застосуємо формулу (10.4):
Проектуючи цю рівність на направлення АВ , одержимо
Останній член цієї рівності пропадає, так як вектор перпендикулярний АВ і, отже,
Теореми і визначення, викладені в цьому розділі, можна використати для графічного знаходження швидкостей точок плоскої фігури з допомогою побудови плану швидкостей.