1.7 Показники вірогідності вимірювального контролю

Установлення відповідності показників точності вимірів вимогам вірогідності контролю є однієї з основних задач метрологічної експертизи конструкторської документації [16]. Вірогідність контролю характеризується умовною ймовірністю одержання рішення «не придатний» при контролі параметра, значення якого в дійсності відповідає вимогам технічної документації (вірністю «помилкової відмови» Р_л.о.) і умовною ймовірністю одержання рішення «придатний» при контролі параметра, значення якого в дійсності не відповідає вимогам технічної документації (імовірністю «невиявленої відмови» Р_н.о).

У деякій літературі замість «помилкову відмову застосовують терміни «помилка першого роду» або «ризик виробника (постачальника)» і позначають , а замість «невиявлена відмова» – «помилка другого роду» або «ризик споживача (замовника)» і позначають .

Коли контрольований параметр х і погрішність виміру у розподілені безупинно в межах від до із щільністю ймовірностей і значення Р_л.о і Р_н.о, викликані погрішностями вимірів, знаходять по відомих формулах :

(1.49)

(1.50)

де х_н , x – мінімальні й максимальне припустимі значення параметра при контролі.

В (1.49) і (1.50) перші члени правої частини являють собою ймовірності «помилкової (невиявленої) відмови» по нижній границі допуску, а другі – по верхній границі, тобто , .

Практично контрольовані параметри, як правило, мають кінцеві розподіли від x_min>-∞ до x_max<∞, і стандартні апроксимації функцій розподілу похибок вимірів також мають кінцеві розподіли від до . Отже, формули (1.49) і (1.50) у представленому виді прийнятні для рішення практичних задач у названих умовах, оскільки необхідно змінювати межі інтегрування залежно від співвідношень області розподілу параметра {х}=[x_min,…,x_max], його допуску при контролі й області розподілу похибки виміру .

По визначенню результат виміру z=x+y. Найбільший практичний інтерес представляють випадки, коли параметри контрольованих виробів можуть виходити за кожну із двох границь допуску, а погрішність виміру менше допуску на параметр, тобто

(1.51)

Розподіл f₁(x) і f₂(y) тут і далі вважаємо безперервними.

З розмірного аналізу треба, що в даних умовах для події «помилкової відмови» по х_н, область інтегрування визначається системою нерівностей

(1.52)

а для події «помилкової відмови» по х_в — системою нерівностей

(1.53)

При визначенні Рл. _про на відміну від (1.49) інтегрування по х повинне вестися тільки по тій частині області розподілу параметра в межах допуску, де можливі «помилкові відмови» при певних співвідношеннях між допуском на параметр і погрішностями вимірів. Так, «помилкові відмови» по х_в при умовах (1.52) можливі тільки для тих значень параметра, які відрізняються від х_в на величини менше, ніж у_в. Якщо ж значення параметра перебувають у межах від х_н до (х_в-у_в), то «помилкові відмови» по х_в неможливі при будь-яких значеннях похибок вимірів, і інтегрування по цій ділянці не ведется.

Замінивши в (1.49) межі інтегрування згідно (1.52) і (1.53) і позначивши Р_л.о індекс відповідної умови (1.51), одержуємо

(1.54)

Приклад 1. Нехай контрольований параметр і погрішність виміру мають рівномірні розподіли

(1.55)

(1.56)

Підставляючи (1.55), (1.56) в (1.54), отримаємо

(1.57)

«Невиявлені відмови» по х_н можливі при й тільки при позитивних значеннях похибок вимірів, що перевищують , а по - при й тільки при негативних значеннях похибок виміру, менших, чим .

В умовах (1.51) для розрахунку як , так й є дві якісно різні ситуації, коли абсолютне значення похибки виміру менше абсолютного значення відповідної величини виходу розміру параметра за межі допуску й навпаки, тобто

(1.58)

(1.59) (1.60)

(1.61)

З розмірних співвідношень треба, що для події «невиявленої відмови» по х_в при умовах (1.51) і (1.58) область інтегрування визначається системою нерівностей:

(1.62)

а при умовах (1.51) і (1.59) - системою нерівностей:

(1.63)

Аналогічно для події «невиявленої відмови» по х_н при умовах (1.50) і (1.59) область інтегрування визначається системою нерівностей:

(1.64)

а при умовах (1.7.3) і (1.7.13) - системою нерівностей:

(1.65)

Замінивши в (1.50) межі інтегрування згідно (1.62) – (1.65) стосовно до конкретних співвідношень (1.58) – (1.61), отримаємо відповідну формулу для визначення Р_но. Так, при умовах (1.58) і (1.60)

(1.66)

Пі умовах (1.59) і (1.62):

При умовах (1.58) і (1.61)

При умовах (1.59) і (1.60)

Приклад 2. Нехай і мають вигляд (1.55) і (1.56). Підставляючи (1.55) і (1.56) в (1.66), находим

(1.67)

тобто одержали ту ж формулу, що й (1.57). При формули (1.57) і (1.67) приймаю

Отримані результати дозволяють обчислювати показники вірогідності вимірювального контролю для кінцевих визначень контрольованих параметрів і похибок вимірів [17].