1.3 Загальні закономірності числового контролю

У теорії числового контролю превалюють задачі аналізу. Це визначило предмет її дослідження - знаходження характеристик контролю як методики й процедури. Відомо кілька таких характеристик: вірогідність, втрати якості, ризики виробника й замовника. Останні є визначальними [10].

Більшість із опублікованих теоретичних результатів, за рідкісними винятками, зводяться до загальних інтегральних подань ризиків виробника й замовника й рекомендаціям з їх чисельному або графоаналітичному (номограмному) розрахунку. Достаток об'єктів і методик контролю, розмаїтість законів розподілу контрольованих параметрів і похибки вимірювань, наявність декількох модифікацій самих ризиків й ін. - все це служить стимулом для продовження досліджень у вже апробованому ключі.

Щоб підготувати ґрунт для постановки й рішення задач синтезу числового контролю, треба "відробити" тему його аналізу на якісно новому, системно-структурному рівні. Це вимагає детального вивчення характеристик контролю, у результаті чого повинен бути вирішений ряд теоретико-методологічних питань, у тому числі:

• визначено місце й роль ризиків виробника й замовника в структурі числового контролю;

• установлено основні властивості й закономірності, яким вони підкоряються;

• отримано прості й зручні у використанні їхні аналітичні подання (оцінки) і ін.

Контроль - дослідна процедура, що встановлює, придатний або не придатний об'єкт до використання по призначенню. Його результати носять якісний (двійковий) характер: "1" (визнати об'єкт придатним) або "0" (визнати об'єкт не придатним). Їх можна розглядати як взаємно протилежні події й . Контроль іменується числовим, якщо контрольований параметр об'єкта описується числом або числовим вектором.

Функції контролю виконує якийсь пристрій, що розпізнає, іменованою контролюючою системою (КС). Вона розщеплює поступаючий на її вхід потік об'єктів на два вихідних потоки. В один їх них (перший вихідний потік, або потік В) направляються об'єкти, визнані нею придатними, в іншій (другий вихідний потік, або потік В) - визнані не придатними (рисунок 1.1).

Вхідний поток 1-й вихідний поток 2-й вихідний поток

Рисунок 1.1 – Контролююча система як перетворювач потоків: , , - об'єми вхідного й вихідного потоків; , , - їхнйої втрати якості.

Під потоком об'єктів розуміється кінцева або нескінченна тимчасова послідовність однотипних об'єктів. Для визначеності будемо вважати її кінцевою. Нею, наприклад, може бути поступаюча по конвеєрі на суцільний контроль партія виробів. Такі потоки можна вичерпно описати двома незалежними параметрами - об'ємом і ступенем засміченості (втратами якості) [11].

Під об'ємом потоку розуміється загальна кількість його об'єктів. Під ступенем засміченості - частка небажаних для даного потоку об'єктів. Так, для вхідних і першого вихідного потоків КС небажаними є негідні об'єкти, для другого вихідного потоку КС - придатні.

Уведемо символічні позначення параметрів потоків КС. Позначимо об'єм вхідного потоку через , а об'єми перших і другого вихідних потоків - через і відповідно. Втратам якості вхідного потоку припишемо символ , а втратам якості вихідних потоків - і . При досить великому об'ємі N (надалі цю умову покладається виконаним) величини , , можна оцінювати ймовірностями подій:

; (1.3.)

,

де Р - символ імовірності; і - події, що відповідають придатності й непридатності контрольованого об'єкта.

Кожний з потоків КС можна розглядати як нерозрізнену суміш двох якісно різних потоків, один із яких складається тільки із придатних, а іншої - тільки з не придатних об'єктів. Будемо позначати їхні об'єми тими ж символами, що й об'єми самих потоків, з одним або двома штрихами зверху:

, , - кількості придатних об'єктів у відповідному потоці;

, , - кількості не придатних об'єктів у відповідному потоці.

Випишемо очевидні залежності:

з яких треба, що кількості придатних і не придатних об'єктів потоку (так само, як об'єм і втрати якості) є його вичерпними характеристиками. Ці характеристики можна використати як інформативні параметри потоків. Назвемо їх вхідними й вихідними змінними КС.

Уведемо в розгляд апріорні-умовні ризики виробника ( ) і замовника ( ) розуміючи під ними відповідні умовні ймовірності помилок контролю при відомих достовірних станах контрольованого об'єкта,

(1.4)

Між вхідні й вихідні змінними КС справедливі залежності:

(1.5)

(1.6)

із чого слідує, що КС можна розглядати як багатомірний лінійний перетворювач потоків контрольованих об'єктів, а показники й -як його вичерпні характеристики.

Об'єкт вичерпно описується ймовірністю (1.3. 2), КС – імовірностями й (1.3. 3).

Об'єкт і КС у сукупності можна розглядати як єдине ціле – систему контролю (СК) (рисунок 1.2). Вона призначена для ідентифікації апріорі невідомого стану ОК: або . Ця ідентифікація здійснюється по спостережуваному стані КС: В або .

Результат контролю

Рисунок 1.2 – Структура системи контролю: і – вичерпні характеристики СК (безумовні ризики виробника й замовника); – вичерпна характеристика ОК (імовірність непридатності); і - вичерпні характеристики КС (апріорні-умовні ризики виробника й замовника).

Таким чином, існують чотири варіанти спільного настання подій:

,

які визначають різні стани системи контролю. Крайні з них { й ) відповідають правильній ідентифікації об'єкта й не позначаються на втратах якості функціонування системи. Два інших { й } відповідають неправильній ідентифікації і являють собою помилки першого й другого роду, що по-різному впливають на втрати якості контролю.

, ,

трактуємі як ризики (безумовні ризики) виробника й замовника, виступають як характеристики системи контролю. У статистичній інтерпретації (N велике)

, . (1.7)

Ризики й пов'язані з характеристиками об'єкта й контролюючої системи залежностями:

(1.8)

(1.9)

Із цих залежностей випливають умови фізичної можливості системи контролю: ніяка реальна система контролю не може мати ризик виробника, що перевищує ймовірність придатності контрольованого об'єкта, і ризик замовника, що перевищує ймовірність його непридатності,

В іншій інтерпретації ці умови означають, що ніякий реальний контроль не може помилково забракувати або помилково визнати придатними більше число виробів контрольованої партії (відповідно "придатних" або "не придатних"), чим їх є в наявності.

Як ми вже відзначали, КС виступає в ролі перетворювача потоків. Кожний з них описується двома показниками - об'ємом і втратами якості. Якби КС була ідеальної, то її перший потік складався б тільки із придатних, а другий - тільки з не придатних об'єктів. Іншими словами, виконувалися б рівності:

, (1.10)

, . (1.11)

Відразу ж необхідно помітити, що запису (1.9) і (1.10) еквівалентні, так що досить розглянути одну з них. Виберемо запис (1.9) у якості опорної й з'ясуємо спочатку, при яких умовах справедливо її перша рівність

(1.12)

Теорема про безумовні ризики. Необхідною й достатньою умовою збігу кількості N_B прийнятих до використання виробів контрольованої партії з кількістю її істинно придатних виробів є рівність безумовних ризиків виробника й замовника:

(1.13)

Доказ:

Необхідність. Нехай справедлива рівність (1.12). Покажемо справедливість (1.13), склавши ланцюжок рівносильних рівностей:

(1.14)

Достатність. Оскільки (1.14) - ланцюжок рівносильних рівностей, справедливість (1.12) при виконанні (1.14) може бути доведена у зворотному порядку.

Що й було потрібно довести.

Наслідок 1. При дотриманні (1.13) (або еквівалентної їй залежності (1.12)) кількість не придатних виробів у прийнятій частині контрольованої партії дорівнює кількості придатних виробів у її забракованій частині.

Дійсно,

Ще більш короткий висновок можна одержати, скориставшись (1.11):

.

Наслідок 2. Якщо ризик замовника перевищує ризик виробника, то об'єм прийнятої частини партії більше, а забракованої частини менше кількостей відповідно придатних і не придатних виробів контрольованої партії.

Дійсно, нехай . Тоді (див. (1.11))

. (1.15)

При порушенні рівності (1.13) в іншу сторону, у ту ж сторону міняється й співвідношення прийнятих і забракованих об'єктів з відповідною кількістю придатних і не придатних виробів контрольованої партії: З результатів (1.14) і (1.15) випливає: якщо рівність ризиків (1.13) не виконується, в одному з вихідних потоків КС завжди будуть присутні небажані об'єкти (об'єкти протилежної якості).

Умова доцільності контролю відбиває його результативність: якість першого вихідного потоку КС (прийнятої контролем партії) вище якості її вхідного потоку (вихідної партії). Воно описується нерівністю, що накладають на характеристики КС:

Виражене через безумовні ризики, ця нерівність приймає вид (див. (1.8), (1.5))

,

або, у випадку рівності безумовних ризиків,

. (1.16)

Графік функції в правій частині (1.16) показаний на рисунку 1.3. Він задає верхню границю безумовних ризиків. З нього треба, що контроль доцільний лише в тому випадку, коли безумовні ризики строго менше втрат якості контрольованої партії. При цьому максимальне значення ризиків відповідає 50-процентним втратам її якості ( ) і дорівнює 0,25.

Рисунок 1.3 – Залежність верхньої границі безумовних ризиків від втрат якості контрольованої партії: - верхня границя ризиків виробника й замовника; - втрати якості вхідного потоку.

Повернемося до запису (1.10) ідеальної КС. Якщо її перша рівність у реальних КС легко реалізоване, то друге – недосяжно. Однак можна зробити втрати якості першого вихідного потоку КС досить малою величиною, багато меншої втрат якості її вхідний потоку:

(1.17)

Виконання цієї нерівності в сукупності з рівністю (1.12) назвемо умовами якісного функціонування КС. З'ясуємо, які вимоги треба накласти на характеристики КС, щоб задовольнити цим умовам.

Виразимо через апріорні-умовні ризики й втрати якості вхідного потоку (див. формули (1.5), (1.6)):

(1.18)

Підставимо (1.18) в (1.17):

Після нескладних перетворень отримаємо

Звідси випливають умови, що накладають на апріорні-умовні ризики:

, . (1.19)

Умови (1.19) - необхідні, але не достатні умови якісної роботи КС. Вони вимагають малих значень апріорних-умовних ризиків виробника й замовника, але не встановлюють співвідношень між ними. Тим часом, таке співвідношення відіграє важливу роль для правильного настроювання КС. Для його знаходження звернемося до рівності (1.12) або еквівалентному йому (1.13). З останнього випливає

(1.20)

Таким чином, для якісного функціонування контролюючої системи необхідно й досить мати її показники й багато меншими одиниці й витримувати між ними співвідношення (1.20) [11].