1.5 Уравнение состояния в канонической форме,

схема моделирования

Запишем уравнения состояния в канонической форме. Чтобы перейти к канонической форме, введем новую переменную q, которая связана с переменной состояния x следующим образом:.

М – модальная матрица, которая имеет вид:

где- характеристические числа матрицы Фробениуса А. Модальная матрица имеет такой вид, так как матрица А имеет форму Фробениуса и все корни характеристического уравнения различны.

При подстановке q вместо х в нормальную форму уравнений состояния (1.3) получим уравнения состояния системы в канонической форме:

(1.4)

Здесь - диагональная матрица:

где- матрица, обратная модальной, определяемая выражением:

.

Здесь -матрица, присоединенная к М, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Подставим найденные значения в (1.4), получим:

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис.1.3. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния .

Рисунок 1.3 – Схема модели, соответствующая уравнениям состояния в канонической форме

Получим уравнения состояния в нормальной форме, с помощью Matlaba.

ss(W) – команда, выводящая матрицы A, B, C, D

Получим:

Рисунок 1.4 – Схема модели, соответствующая уравнениям состояния в нормальной форме

Рисунок 1.5 – Переходная характеристика

1.6 Решение уравнения состояния в нормальной и канонической формах

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют видy(0)=1.8;. Сигналu(t)=18∙1(t).переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями, получим:

Решение уравнения состояния складывается из двух составляющихx(t)=x₁(t)+x₂(t) – свободной и вынужденной.

Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведения системы.

Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала u(t) и характеризует поведения системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния имеет вид:

где е^At– фундаментальная матрица или матрица перехода.

Она вычисляется по следующей формуле:

е^At=γ₀E+γ₁A+γ₂A²,

гдеγ₀,γ₁,γ₂– неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение:

Для рассматриваемого примера:

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида:

γ₀ -3γ₁+9γ₂= е^-3t,

γ₀ -5γ₁+25γ₂= е^-5t,

γ₀ -10γ₁+100γ₂= е^-10t.

Решение данной системы уравнений имеет вид:

γ₀=3.571e^-3t– 3e^-5t+0.429е^-10t,

γ₁=1.071e^-3t-1,3e^-5t+0,229^-10t,

γ₂=0,071e^-3t-0,1e^-5t+0,029e^-10t.

=>

Итак,

Так какy=x₁, то свободная составляющая выходного сигнала будет равна 6.429e^-3t– 5.4e^-8t+0.771e^-10t. Определим вынужденную составляющую при входном сигналеu(t)=18∙1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (1.1). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае, умножим переходную характеристику на 18.

Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:

y(t)=6.429e^-3t– 5.4e^-5t+0.771e^-10t+18()=

=1549.287e^-3t-2165.4e^-5t+617.919e^-10t.

_{Выполним проверку:}

_{y(0)=1549.287-2165.4+617.919=1.8 - верно;}

_{y(∞)=0 - верно.}

Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (1.4). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной, и его решение в общем виду имеет вид:

Определим начальные условия q(0) для вектораq(t).

Так как , то

Найдем выражения для,и:

=

В результате получим:

_{Выполним проверку:}

_{y(0)=1549.287-2165.4+617.914=1.8 - верно;}

_{y(∞)=0 - верно.}

_{Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают.}