Дифференциальные зависимости между силовыми факторами при изгибе. Опасные сечения

Между силовыми факторами, действующими в данном сечении балки, существуют определенные зависимости, которые могут быть сформулированы следующим образом:

1. Производная от изгибающего момента по х равна поперечной силе (теорема Журавского).

2. Производная от поперечной силы по х равна интенсивности сплошной (распределенной) нагрузки.

С учетом этого можно перечислить следующие признаки тех сечений, в которых изгибающий момент принимает наибольшее по абсолютной величине значение:

1) сечение, в котором поперечная сила равна нулю;

2) сечение, в котором поперечная сила скачком меняет свой знак на обратный;

3) сечение на одном из концов балки;

4) сечение, в котором приложена сосредоточенная пара сил

На практике эпюры μ и Q часто строятся без составления соответствующих уравнений для каждого участка балки, а лишь на основании общих соображений о форме линий, изображающих силовые факторы в сечении, и их ординатах в характерных точках (сечениях). К основным правилам при подобном построении и контроле правильности эпюр μ и Q относятся следующие.

1. На участках балки, свободных от сплошной (распределенной) нагрузки, эпюра поперечных сил должна изображаться горизонтальными прямыми, а эпюра μ – наклонными прямыми.

2. Там, где приложены сосредоточенные силы, эпюра Q имеет разрыв непрерывности на величину силы, а эпюра μ – излом.

3. Там где приложена пара сил, эпюра Q сохраняет плавность и непрерывность, а эпюра μ имеет разрыв непрерывности на величину пары μ, сохраняя постоянное направление касательной

4. Начальные и конечные положения на эпюрах Q и μ должны совпадать со значением сосредоточенных сил и пар, приложенных к концам балки (в частности, опорных реактивных силовых факторов) с учетом правила знаков.

5. На участках балки, несущих равномерно распределенную нагрузку эпюра Q изображается наклонной прямой, а эпюра μ – квадратной параболой.

6. Там, где Q>0, изгибающий момент возрастает (по алгебраической величине), а там , где Q<0 – убывает.

Умение правильно строить эпюры μ и Q имеет очень большое значение, так как на их основе выбирается опасное сечение балки и устанавливаются расчетные изгибающий момент и поперечная сила. Обычно опасным с точки зрения прочности балки оказывается сечение с наибольшим изгибающим моментом. Но иногда таким может оказаться сечение с наибольшей поперечной силой, а еще реже – какое-то промежуточное сечение между двумя указанными выше.

Напряжение при чистом изгибе

Чтобы упростить решение задачи начнем с такого случая изгиба, когда в поперечном сечении балки действует только один силовой фактор, а именно – изгибающий момент μ, а поперечная сила Q=0. Так как , то в этом случае μ=const. Такой случай изгиба носит название чистого изгиба. При чистом изгибе характер деформации позволяет отметить следующие основные ее особенности.

1. Продольные прямые по боковой поверхности искривляются, обращаясь в дуги окружностей.

2. Поперечные прямые остаются прямыми, но взаимно наклоняются, принимая радиальное направление.

3. Поперечное сечение деформируется, причем непосредственное измерение продольной и поперечной деформации для одного и того же слоя волокон дает следующий результат:

4. На вогнутой стороне стержня продольные волокна укоротились, а на выпуклой стороне удлинились, следовательно, где-то между ними находится такой слой волокон, длина которых окажется без изменений. Этот слой называется нейтральным.

Выделим из балки после ее деформации двумя сечениями, перпендикулярным к оси балки, элементарная длина которого до деформации была равна dx.После деформации его боковые грани остались плоскими но повернутыми относительно друг друга на угол dφ радиус кривизны нейтрального слоя ef обозначим ρ. Рассмотрим деформацию произвольного волокна mn, положение которого внутри элемента определяется расстоянием у от нейтрального слоя. Это расстояние будем считать положительным в сторону выпуклости балки. В таком случае относительное удлинение произвольного волокна

Учитывая линейность напряженного состояния волокон балки, получаем по закону Гука (1)

Формула (1) устанавливает закон распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки. Этот закон оказывается линейным, то есть напряжения в сечении прямо пропорциональны расстоянию волокон от нейтрального слоя. Оказывается, что положение нейтрального слоя определяется осями YOZ, проходящими через центр тяжести поперечного сечения.

Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя составим уравнение равновесия относительно оси OZ: или ;

Обозначив величину , где I_z – осевой момент инерции сечения относительно оси OZ получим (2) Подставив в формулу (1) выражение (2) получаем (3).

Для крайних точек контура поперечного сечения А и В найдем:

;

Как видно из эпюры напряжений в поперечном сечении, прочность балки при чистом изгибе должна проверятся в крайних точках сечения и в общем случае, если материал балки неодинаково работает на растяжение и сжатие, следует записать две формулы проверки прочности: на растяжение ; на сжатие: .

В тех случаях, когда у_A=|y_B|=y_макс, удобно ввести новую геометрическую характеристику сечения – момент сопротивления сечения при изгибе, равный отношению осевого момента инерции сечения относительно нейтральной оси к расстоянию до крайнего волокна.

Для круглого стержня

Для часто применяемых в практике профилей балок эта характеристика включена в таблицы стандартов. С помощью этого понятия уравнение проверки прочности при чистом изгибе может быть записано так

(4)

Приведенные формулы получены для случая чистого изгиба. Однако на практике чистый изгиб встречается относительно редко. Гораздо чаще встречается так называемый поперечный изгиб, при котором в каждом поперечном сечении балки, помимо изгибающего момента, есть еще и поперечная сила. Изгибающий момент в этом случае не остается постоянным в различных сечениях, а изменяется в соответствии с эпюрой изгибающего момента. Практика показывает, что в большинстве случаев бывает достаточно проверить прочность балки, подвергающейся поперечному изгибу, по нормальным напряжениям, которые при поперечном изгибе вычисляются по тем же формулам, что и при чистом изгибе. В этом случае проверку прочности надо делать по опасному сечению, то есть по тому сечению, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент (при постоянном сечении балки).

При подборе сечения балки с помощью уравнения (4) надо иметь в виду следующее. Вычислив необходимый момент сопротивления сечения и обратившись к сортаментной таблице указанного в условии профиля, мы как правило, не найдем там точно такого же значения W. Поэтому приходится брать либо ближайшее меньшее, либо ближайшее большее значение. Ближайшее меньшее значение можно брать лишь при условии, что оно отличается от необходимого не более чем на 5%. В противном случае надо выбирать ближайший больший номер профиля, независимо от отклонения табличного значения W от необходимого. Балка будет иметь в этом случае некоторый избыточный запас прочности.