МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Металлургия и технология сварочного производства»

А.В. Устинов

Конспект лекций

по дисциплине

«Численные методы в расчетах на ЭВМ»

(для студентов специальности 6.092.301, 6.092.303)

Мариуполь, пгту, 2010г

Лекция 1

Цель курса - научиться решать вычислительные задачи с применением численных методов расчета на ПЭВМ.

Задачи курса

- изучить основные понятия, - освоить решение нелинейных уравнений,

- освоить методы аппроксимации функций,

- освоить численное интегрирование функций,

- освоить решение систем линейных уравнений,

- освоить решение нелинейных уравнений,

- освоить решение задач оптимизации,

- освоить численное дифференцирование.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Математическая модель.

Она предназначена для описания процессов, явлений с помощью математических выражений. Мат. модель должна правильно (адекватно) отражать закономерности изучаемого явления. Это требование является основным условием для ее использования в расчетах. Кроме того модель не должна быть чрезмерно сложной и удобной для использования расчетных методов.

Численные методы расчета.

Основным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы. Результат решения задач всегда получается в виде числовых решений. Численными методами называются такие, которые сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами. Для решения сложных задач надо выполнить множество действий. Только ЭВМ

способны справиться с этой проблемой.

Порядок решения задач с применением ЭВМ.

Для решения математических задач первоначально подбирают наиболее подходящий для этого способ решения. Затем применительно к выбранному способу составляют алгоритм решения задачи. Он представляет собой последовательность элементарных арифметических и логических действий, отражающих процесс решения задачи и приводящих к конечному результату.

Записывается алгоритм в виде блок-схемы.

Следующим этапом является составление программы решения задачи. Это изложение алгоритма на понятном для ЭВМ языке. Потом производится отладка программы для устранения ошибок и проверки правильности решения.

Приближенные числа, погрешности.

При решении задач численными методами результаты всегда получаются приближенными, то есть содержат некоторую погрешность. Погрешности присутствуют при измерениях и вычислениях.

Различают абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна разности между истинным значением его и приближенным. Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа.

Если а- приближенное число, х- истинное значение числа, то

∆х = х – а, δх = ∆х ‌∕ ‌ ‌‌│а│. (1.1)

В действительности истинное значение числа обычно неизвестно. Тогда используют понятие предельной абсолютной погрешности ( ∆а ). Она представляет собой верхнюю оценку модуля абсолютной погрешности

‌│∆х‌│ ≤ ∆а, (1.2)

а также предельную относительную погрешность

δа = ∆а/│а│. (1.3)

Определение погрешности вычислений

При сложении и вычитании приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются

∆(а ± в) = ∆а + ∆в. (1.4)

При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности

δ(а*в) = δа + δв (1.5)

δ(а/в) = δа + δв.

При возведении в степень показатель степени умножается на относительную погрешность

δ(а^к) = к δа. (1.6)

Лекция 2

Правила записи погрешности.

Величина предельной абсолютной погрешности записывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд приближенного числа должен соответствовать младшему разряду абсолютной погрешности.

Например, 58,73 ± 0,11.

Если погрешность числа не указывается, то абсолютная погрешность определяется как половина единицы последнего разряда.

Например, для числа 38,68 она составит 0,005.

Источники погрешностей.

Источниками погрешности на отдельных этапах решения задач

являются математическая модель, способ решения и исходные данные.

Математическая модель приближенно описывает изучаемое явление или процесс. Численные методы решения не являются точными. Кроме того, промежуточные вычисления сопровождаются округлениями чисел.

Третьим источником погрешности являются погрешности исходных данных.

Для уменьшения погрешности вычислений используют более точную математическую модель и другой, более точный метод расчета. Погрешность исходных данных является неисправимой при выполнении расчетов.

Понятие устойчивости расчетного метода.

Некоторые решения являются весьма чувствительными к погрешностям исходных данных. Чувствительность расчетов к погрешностям исходных данных характеризуется понятием устойчивости расчетного метода.

Если в зависимости У = f(х) исходная величина х имеет абсолютную погрешность ∆х, то решение будет иметь погрешность ∆у. Решение называется устойчивым по исходному параметру х, если малое приращение величины, т.е. ∆х приводит к малому приращению искомой величины, т.е. ∆у. Или малые погрешности исходных данных дают малую погрешность результатов расчета.

Корректность задачи.

Задача считается поставленной корректно, если для любых значений исходных данных существует единственное решение и оно правильное. На корректность решения влияет верный выбор математической модели.

Обычно некорректно поставленные задачи относятся к тем, которые при использовании численных методов решения чувствительны к погрешностям исходных данных или результатам округления промежуточных вычислений.

По ходу вычислений погрешности возрастают, что вызывает недопустимое искажение конечного результата. Часто неустойчивое решение задачи связано с некорректностью их постановки.

Понятие сходимости метода решения.

Сходимость численного метода решения означает близость полученного результата расчета к истинному значению. При многократном повторении расчетного процесса (итерации), когда используется метод последовательных приближений, получаем последовательность значений функции ( У1, У2, …, Уn ). Если последовательность итераций приводит к точному решению У = α, то при неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен α. Такой численный метод называется сходящимся.

Лекция 3

Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

К решению систем линейных уравнений сводятся многие практические задачи. Решение систем линейных уравнений является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

,

, (3.1)

………………………

.

Совокупность коэффициентов этой системы уравнений можно записать в виде таблицы:

(3.2)

Данная таблица элементов, состоящая из строк и столбцов, называется квадратной матрицей порядка . Если подобная таблица содержит элементов, расположенных в строках и столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.

Используя понятие матрицы А, систему уравнений (1) можно записать в матричном виде:

АХ=В (3.3)

где Х - вектор столбец неизвестных

,

В - вектор столбец коэффициентов правых частей уравнений

.

Определителем или детерминантой матрицы А n-го порядка называется число , равное

(3.4)

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие . В случае равенства определителя системы матрица называется вырожденной. Это значит, что система уравнений либо не имеет решения, либо имеет множество решений.

Геометрическая интерпретация решения системы уравнений

На примере простой линейной системы уравнений можно показать эти случаи.

(3.5)

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости. Координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы (3.5).

Рассмотрим три возможных случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1. Прямые пересекаются, тогда коэффициенты системы (3.5) не пропорциональны

. (3.6)

2. Прямые являются параллельными, тогда коэффициенты подчиняются условиям

. (3.7)

3. Прямые совпадают, тогда все коэффициенты пропорциональны

. (3.8)

Для уравнения (3.5) определитель запишется так

, (3.9)

Для случая 1 система имеет единственное решение.

В случае 2 система не имеет решения (прямые не пересекаются).

В случае 3 система имеет бесчисленное множество решений (прямые совпадают).

И в случае 2 и 3 .

Если же , то такие системы уравнений называются плохо обусловленными. Решение такой системы сильно зависит от точности вычисления коэффициентов.

Лекция 4

Методы решения линейных систем уравнений.

Все методы решения делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы.

Прямые метода используют конечные соотношения или формулы для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса линейных систем.

Вместе с тем они имеют и ряд недостатков. Обычно требуется хранить в оперативной памяти ЭВМ сразу всю матрицу. При большом числе неизвестных занимается большой объем оперативной памяти. Кроме того, не учитывается структура матрицы и при вычислении разрешенных матриц память загружается ненужными элементами.

Большим недостатком прямых методов является накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем уравнений, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям.

Поэтому прямые методы используются для решения сравнительно небольших систем (n уравнений до 200 с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем).

Кроме того, этот метод решения называется точным, поскольку решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако, точное решение обычно не достигается из-за округлений, связанных с ограниченным числом знаков в ЭВМ, даже если коэффициенты системы имеют точные значения.