1. Определение производной
Пусть функция определена в некоторой точке , и пусть существует конечный предел отношения , при , тогда этот предел называется производной функции в точке
(1)
Если функция имеет производную в точке , т.е. существует конечный предел
, (2)
то существует предельное положение секущей l, заданной уравнением
. (3)
Это означает, что в точке существует касательная к графику функции , причём, согласно формуле , где – угловой коэффициент прямой . так как , где – угол, образуемый касательной с положительны направление оси абсцисс, то
. (4)
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке
Уравнение касательной к графику функции в точке , получаемое из уравнения (3) заменой на , имеет вид
. (5)
Записать уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой .
Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой , т.е. равен 1, то из уравнения получаем , а по формуле (5) при , находим уравнение касательной .
1.2. Составить уравнение касательной к функции в точке .
Уравнение касательной к графику функции в точке , где
имеет вид: .
Вычислим производную по формуле (1)
Далее: .
Поэтому уравнение касательной в точке имеет вид: .
Или после упрощения: .
Таблица производных
2. Дифференциал функции
Если функция определена в – окрестности точки , а приращение функции в точке x0 представимо в виде
,
где не зависит от , а при , то функция называется дифференцируемой в точке , а произведение называется её дифференциалом в точке x0 и обозначается или .
2.1. Найти дифференциал
.
2.2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
Для функции воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: . Здесь:
- - значение рассматриваемой функции в исходной точке.
- - значение рассматриваемой функции в «хорошей» точке близкой к исходной точке.
- -дифференциал функции.
В нашем случае . В качестве «хорошей» точки возьмем точку . Тогда приращение аргумента есть .
Вычислим производную функции . Получим: .
Итак, для нашей функции имеем следующую приближенную формулу:
.
Тогда, подставляя в нее наши числовые значения получаем:
.
Ответ: .