Физика
.pdf
№341
Äàí î
ρ
R
ε
_______
E(r) −? ϕ(r) −?
σ'−?
ρ−?
Решение
Для определения напряженности в области 1 проведем цилиндрическую гауссову поверхность радиусом r<R и длинной l, и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике
∫DndS = ∫ρdV
Из соображений симметрии Dn=D1=const. Следовательно
Dn ∫dS = ρ∫dV
Dn 4πr2 = ρ 43 πr3
D1 = ρ 3r
Напряженность электрического поля
E = D
εε0
E = ρ |
r |
(1) |
|
||
1 |
3εε0 |
|
|
|
В области 2 проведем гауссову поверхность радиусом R<r. В этом случае
En ∫dS = ε1 ρ∫dV
0
En 4πr2 = 1 ρ 4 πR3
ε0 3
E |
|
= |
1 |
|
ρ |
|
R3 |
|
|
(2) |
|||||
2 |
|
|
3r2 |
|
|||||||||||
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ρ |
1 |
|
|
|
|
r |
;r < R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
εε |
0 3 |
|||||||||
E |
(r) = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
R3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
;r ≥ R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
3r |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зависимость потенциала от радиуса найдем по формуле dϕ = Edr (2)
интегрируя (2) получим r<R
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ϕ1 = ∫0 |
|
|
ρ |
|
|
dr = |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
εε0 |
3 |
|
εε0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
если r ≥ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
1 |
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ϕ2 = ∫0 ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
= −ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ε0 |
|
3r2 |
ε0 |
|
3r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r |
2 |
;r < R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
εε0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ϕ(r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
ρ |
|
|
;r ≥ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ε0 |
|
|
3r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
поверхностная плотность связанных зарядов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ ' =ε0εE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ ' =ε |
|
ερ |
1 |
|
|
|
R3 |
= |
ρR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
εε0 3R2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Объемная плотность зарядов дана по условию ρ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
1 |
|
|
|
|
r |
|
;r < R |
|
ρ |
|
|
1 |
|
r2 |
;r < R |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εε0 |
3 |
|
εε0 |
6 |
|
ρR |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: E(r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;ϕ(r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;σ ' = |
|
; ρ |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
;r ≥ R |
|
− |
ρ |
|
|
;r ≥ R |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 3r |
2 |
|
|
|
ε0 |
|
|
3r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
