Лабораторная работа №4 Исследование погрешности численного интегрирования

4.1. Постановка задачи

Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов от заданной на отрезке [a,b] функции f(x)

, (1)

основанные на замене интеграла конечной суммой

, (2)

где - числовые коэффициенты; - точки отрезка [a,b], называемые узлами квадратурной формулы ; k=0,1,...,n.

Разность называется погрешностью квадратурной формулы.

Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам

. (3)

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла .

4.2. Формулы численного интегрирования

Формула прямоугольников.

Численное интегрирование на частичном отрезке осуществляется по формуле:

.

Формула (3) для интегрирования на всем отрезке [a,b] примет вид

. (4)

Погрешность формулы (4) определяется выражением

(5)

Формула трапеций.

На частичном отрезке эта формула имеет вид

.

Составная формула на отрезке [a,b]:

. (6)

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

. (7)

Формула Симпсона.

Если число элементарных промежутков N=2m четно, то

. (8)

Погрешность этой формулы:

(9)

Оценка погрешности методом Рунге.

Этот метод предназначен для апостеорной (т.е. после проведения расчетов) оценки погрешности.

Пусть квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности m. Обозначим - точное значение интеграла, а - приближенное (численное) значение. В этом случае - некоторая константа. Если интеграл вычислить с вдвое меньшим шагом h/2, то .Отсюда по результатам расчетов на последовательности двух сеток h и h/2 можно дать оценку погрешности численного интегрирования с шагом h/2:

.

Погрешность на отрезке [a,b]:

. (10)

4.3. Задание на лабораторную работу

На отрезке [a,b] задана функция f(x). Требуется :

1. Вычислить значение интеграла тремя методами (прямоугольников, трапеций, Симпсона) с точностью 10^-6 (см. приложения 4, задание №1).

2. Вычислить интеграл (k=0,1,...,5) аналитически и используя квадратурную формулу (трапеций, Симпсона) (см. приложения 4, задание №2).

3. Построить график функции , . Для вычисления интеграла с точностью 10^-8 использовать квадратурную формулу, Симпсона (см. приложения 4, задание №3).

4. Найти зависимость погрешности интегрирования каждым методом от величины шага интегрирования h и сравнить с теоретическими оценками (5), (7), (9) (для задания №2).

5. Апостериорно оценить погрешность методом Рунге для метода второго порядка точности (метод трапеций) и для метода четвертого порядка точности (метод Симпсона) в зависимости от шага h и также сравнить с теоретическими оценками (для задания №2).

4.4. Содержание пояснительной записки

Пояснительная записка должна содержать :

1. постановку задачи;

2. описание используемых численных методов;

3. исходные данные, задаваемые преподавателем;

4. результаты расчетов;

5. график численных и теоретических зависимостей логарифма ошибки от шага интегрирования h для каждого метода;

6. график зависимостей логарифма ошибки от шага интегрирования h , полученных по методу Рунге и теоретически для двух методов с m=2 и m=4;

7. анализ полученных результатов и выводы.

Литература.

1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.:Наука,1989г.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.:Наука,1978г.