5. Статистическое толкование волновых функций.

Волновой процесс, соответствующий состоянию микрообъекта, может быть описан плоской монохроматической волной де Бройля только в случае свободного движения частицы, обладающей определенной энергией и импульсом . Функция, которая описывает волновой процесс в общем случае (произвольное движение частицы в произвольных полях), является весьма сложной. Она зависит от координат и времени, и называется волновой функцией или пси-функцией - .

Физический смысл волн, связанных по идее де Бройля с движением микрочастиц, был раскрыт не сразу. Первоначально делались попытки рассматривать сами частицы как образования из волн (т.е., по существу, сводить корпускулярные свойства к волновым). Это понимание волн де Бройля фактически было классическим и не смогло отобразить многообразие свойств микрочастиц. Кроме того, если среда, в которой распространяется пакет волн, обладает дисперсией (т.е. ), то волновой пакет со временем расплывается, в то время как микрочастица – это устойчивое образование.

Статистическое толкование волн де Бройля следует из интерпретации волновых функций, которая была дана Максом Борном в 1926 г. Согласно М.Борну, квадрат модуля волновой функции в какой-либо точке пространства определяет плотность вероятности локализации микрочастицы в этой точке.

Вероятность того, что частица будет локализована в пределах элементарного объема в окрестности точки с координатами в момент времени , в соответствии с трактовкой Борна может быть определена как

.

(Отсюда следует, в частности, что - это плотность вероятности). Поскольку вероятность локализации частицы во всем объеме равна единице, то

.

Следовательно, - функция должна удовлетворять этому условию, называемому условием нормировки. Пси-функции, удовлетворяющие условию нормировки, называются нормированными.

Из смысла пси-функции следует, что, невозможно точно определить локализацию (местоположение) микрочастицы или траекторию ее движения. Возможно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть локализована в различных точках пространства. В этом проявляется своеобразие микромира.

5. Операторы в квантовой механике.

Математический аппарат квантовой механики существенно отличается от математического аппарата классической механики. Это отличие связано с тем, что необходимо учитывать особенности поведения микрочастиц (например, их волновые свойства). В квантовой механике для определения физических величин (координаты, импульса, момента импульса, энергии) используют математические операторы. Под оператором понимают символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с данной функцией. Действие оператора обозначается так:

.

Примерами операторов могут служить: умножение функции на ( ) или на какую-либо функцию, дифференцирование по ( или ) и т.д.

Свойства операторов.

Если для любой функции , то оператор называется суммой (разностью) операторов.

Произведением операторов называется оператор , результат действия которого на любую функцию будет:

.

Сложение, вычитание и умножение операторов происходит по обычным алгебраическим правилам. Однако не всегда . Если это правило выполняется, то операторы называются коммутирующими. Если , то и - некоммутирующие операторы. Примером некоммутирующих операторов являются операторы и . Легко убедиться в том, что .

Оператор называется линейным, если для двух любых функций и и постоянных и выполняется условие:

.

В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушается принцип суперпозиции.

Средние значения физических величин.

Определим среднее значение координаты частицы, состояние которой характеризуется волновой функцией :

,

где - вероятность локализации частицы в интервале . Функция всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области и нормирована к единице, т.е. удовлетворяет условию

.

Среднее значение можно записать в виде

Среднее значение функции определяется по формуле

,

где рассматривается как оператор.

Среднее значение проекции момента импульса частицы, состояние которой задается пси-функцией , можно найти следующим образом:

.

Операторы некоторых физических величин.

Операторы координаты и импульса являются основными в квантовой механике.

Оператор координаты есть само число : .

Представление о том, какой вид имеет оператор , можно получить на примере анализа пси-функции для свободно движущейся микрочастицы:

;

.

Откуда

.

Из этого выражения видно, что . По аналогии можно записать: , .

Чтобы найти операторы других физических величин, можно воспользоваться формулами классической физики. Например, справедливое в классической физике соотношение

позволяет определить оператор :

.

В результате

,

где - оператор Лапласа.

Оператор вектора импульса:

,

где - оператор набла.

Оператор момента импульса:

, где .

Зная оператор момента импульса, можно определить операторы проекций момента импульса:

, , .

Оператор кинетической энергии:

.

Оператор потенциальной энергии – это сама потенциальная энергия, т.к. потенциальная энергия является функцией координат частицы:

.

Гамильтониан – оператор полной энергии:

.

Следует заметить, что это равенство не эквивалентно выражению для полной энергии частицы , т.к. невозможно одновременно точно определить кинетическую и потенциальную энергии (в силу соотношения неопределенностей). Но можно показать, что среднее значение полной энергии является суммой средних значений кинетической и потенциальной энергий: