Контрольная работа №2 Тема. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений Задание

1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью . Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений ).

2. Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Решение:

1)

Задана система линейных алгебраических уравнений:

Запишем эту систему в матричном виде :

, .

Для решения этой системы воспользуемся пакетом MS Excel. Откроем новый лист с названием «Задание 2».

Перво-наперво, решим систему с использованием надстройки «Поиск решения». Для этого используем ячейки A3:H5, где будут заданы коэффициента матрицы (A3:C5), вектора (D3:D5), вектора (H3:H5), а также значения произведения (E3:E5) и невязки (F3:F5). После чего запускаем надстройку «Поиск решения» и находим в ячейки H3:H5 значения неизвестных: , , .

2)

Найдем решение заданной системы методом Якоби.

Нужно отметить следующее, наша система не содержит преобладания диагональных элементов, поэтому ее решение итерационными методами может со спокойной совестью разойтись.

Приведем систему к нормальному виду:

В матричном виде : , .

На листе «Задание 2» введем исходные данные: матрицу в ячейки B10:D12, вектор в ячейки E10:E12. Точность расчетов в ячейку G10. Номера итераций будем записывать в стоку 13. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки B14:B16. В ячейки C14:C16 записываем первую итерацию метода Якоби, т.е. записываем в ячейку C14 формулу:

=МУМНОЖ($B$10:$D$12;B14:B16)+$E$10:$E$12.

После чего выделяем ячейки C14:C16, нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 17, 18 и 19 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 20 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C17: =B14–C14

C18: =B15–C15

C19: =B16–C16

C20: =МАКС(C17:C19)

Далее выделяем ячейки C14:C20 и автозаполняем ими столбцы с C по Q. Т.о. мы получили 15 итераций, причем с каждой итерацией критерий увеличивается и никогда не становится меньше, чем указанная точность . На 15-ой итерации решение имеет вид , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках Q14:Q16. Т.о. мы получили расходящийся итерационный процесс в связи с непреобладанием диагональных элементов матрицы исходной системы.

Рис. 1.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B13:Q16. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Задание 2». Перенесем эти графики в Word рис. 1. Как видно из рис.1. решение расходится.

3)

Найдем решение заданной системы методом Якоби.

Для достижения сходимости данного итерационного метода нужно преобразовать исходную систему к виду с преобладанием диагональных элементов. Для этого при приведении системы к нормальному виду мы сменим местами некоторые уравнения.

Приведем систему к нормальному виду:

В матричном виде :

, .

На листе «Задание 2. Якоби» введем исходные данные: матрицу в ячейки , вектор в ячейки . Точность расчетов в ячейку . Номера итераций будем записывать в стоку 7. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки . В ячейки записываем первую итерацию метода Якоби, т.е. записываем в ячейку формулу:

=МУМНОЖ($B$4:$D$6;B8:B10)+$E$4:$E$6.

После чего выделяем ячейки , нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C11: =B8–C8

C12: =B9–C9

C13: =B10–C10

C14: =МАКС(C11:C13)

Далее выделяем ячейки C8:C14 и автозаполняем ими столбцы с C по Q. Т.о. мы получили 15 итераций, причем на 15-й итерации критерий , т.е. наше решение сошлось к точному и имеет вид: , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках Q8:Q10.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B7:Q10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Якоби». Перенесем эти графики в Word рис. 2. Как видно из рис.2. решение сходится.

Рис. 2.

Предположив теперь, что точность расчетов составляет мы можем убедится, что для достижения такой точности достаточно 9 итераций. Откуда можно сделать вывод, что решение системы сходится не монотонно и не очень быстро.

4)

Решим заданную систему методом Гаусса–Зейделя. Используем для этого приложение MS Excel. Откроем новую страницу с названием «Задание 2. Зейдель». Аналогично с методом Якоби задаем исходные данные матрицу в ячейки B4:D6, вектор в ячейки E4:E6. Точность расчетов в ячейку G4. Номера итераций будем записывать в стоку 7. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки B8:B10. В ячейки C8:C10 записываем первую итерацию метода Гаусса–Зейделя, т.е. записываем формулы:

C8: =$E$4+$B$4*B8+$C$4*B9+$D$4*B10

C9: =$E$5+$B$5*C8+$C$5*B9+$D$5*B10

C10: =$E$6+$B$6*C8+$C$6*C9+$D$6*B10

В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C11: =B8–C8

C12: =B9–C9

C13: =B10–C10

C14: =МАКС(C11:C13)

Далее выделяем ячейки C8:C14 и автозаполняем ими столбцы с C по L. Т.о. мы получили 10 итераций, причем уже на 5-й итерации критерий , т.е. наше решение сошлось к точному и имеет вид: , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках G8:G10.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B7:L10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Зейделя». Перенесем эти графики в Word рис. 3. Как видно из рис. 3. решение сходится.

Предположив теперь, что точность расчетов составляет мы можем убедится, что для достижения такой точности достаточно 3 итераций. Откуда можно сделать вывод, что решение системы сходится монотонно и быстро.

Рис. 3.