2. Введение в анализ

73. Построить график функции преобразованием графика функцииy=sinx.

Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А=, .

1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.

2. Увеличивая в 2.5 раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, затем, отображая полученную линию зеркально относительно оси ОХ, графика y=sinx, строим график функции y=sinx.

3. Увеличивая в 4 раза абсциссы точек графика функции y=sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .

4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 1/2 единицы масштаба этой оси вправо, строим искомый график функции .

y=sinx

y=5/2sinx

83. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1)

φ	r
0	0,80
π/8	0,84
π/4	0,97
3π/8	1,27
π/2	2,00
5π/8	4,70
3π/4	-32,97
7π/8	-5,18
π	-4,00
9π/8	-5,18
5π/4	-32,97
11π/8	4,70
3π/2	2,00
13π/8	1,27
7π/4	0,97
15π/8	0,84
2π	0,80

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат

Подставим это значение в уравнение линии:

Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Эта линия является гиперболой.

93. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

б)

в)

г)

103. Дана функция и два значения аргумента х₁=4, х₂=3. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;3),(3;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х₁=4, х₂=3. Найдём односторонние пределы.

При х=4 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=3 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.

113. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0,1],(1;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=1. Найдём односторонние пределы.

При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=1 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=1 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 3-1=2.

График этой функции: