- •1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
- •13. Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4 .Найти:
- •33. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
- •43. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
- •53. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
- •63. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
- •2. Введение в анализ
- •93. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
33. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [поменяем местами первую и вторую строки]= = [складываем вторую строку и третью, умножаем первую на -5 и складываем со второй ] == [умножаем третью строку на 13, вторую на -6 и складываем их] =
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Тогда получим решение:
x3 = 8; x2 = 1; x1 =4.
2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .
Тогда X = A-1B.
Вычислим обратную матрицу .
Тогда A-1 =
Получим X = A-1B == = .
43. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строчку на -5 складываем со второй, умножаем первую на 2 и складываем с третьей] = = [ складываем вторую строку с третьей] =.
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Пусть х4=t, тогда получим решение:
х4=t, x3 = 0; x2 =;x1 = .
53. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
Характеристическое уравнение имеет вид:
1=-1, 2=1, 3=9 – собственные значения линейного преобразования.
Для 1=-1 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 1=-1 имеет вид (0;0;0).
Для 2=1 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 2=1 имеет вид (6t;-t;t).
Для 3=9 найдём собственный вектор.
.
Собственный вектор для 3=9 имеет вид (;m;s).
63. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
Запишем данное уравнение в виде:
Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.
Запишем характеристическую матрицу:
Её корнями являются значения 1=1, 2=7.
Для 1=1 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид . Тогдаесть нормированный собственный вектор-столбец.
Для 2=7 найдём собственный вектор.
, где s – любое число.
Собственный вектор-столбец для 2=7 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.
Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .
Базисными векторами новой системы координат являются:
В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:
Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.