- •1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •1. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
- •11. Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4 .Найти:
- •21. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки а(2;2) и от оси абсцисс.
- •31. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
- •41. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
- •51. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
- •61. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
- •2. Введение в анализ
- •91. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
21. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки а(2;2) и от оси абсцисс.
Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:
d = = – расстояние от точки А(3;0) до произвольной точки кривой;
d = = = – расстояние от произвольной точки кривой до оси ординат. Тогда
или ;
Это парабола с центром в точке (2;1).
31. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [поменяем местами первую и третью строки]= = [умножаем первую строчку на -2 и складываем со второй, умножаем первую на -3 и складываем с третьей ] == [умножаем третью строку на 14, вторую на -11 и складываем их] =
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Тогда получим решение:
x3 = 3; x2 = -1; x1 =2.
2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .
Тогда X = A-1B.
Вычислим обратную матрицу .
Тогда A-1 =
Получим X = A-1B == = .
41. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строчку на -2 и складываем со второй, умножаем первую на -1 и складываем с третьей] = = [ складываем вторую строку с третьей] =.
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Пусть х3=t, х4=s тогда получим решение:
х4=s, x3 = t; x2 =;x1 = .
51. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
Характеристическое уравнение имеет вид:
1=-1, 2=1, 3=2 – собственные значения линейного преобразования.
Для 1=-1 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 1=-1 имеет вид (9t;-3t;t), где t– любое число.
Для 2=1 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 2=1 имеет вид (8s;-2s;s), где s– любое число.
Для 3=2 найдём собственный вектор.
.
Собственный вектор для 3=2 имеет вид (m;0;0), где m– любое число.
61. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
Запишем данное уравнение в виде:
Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.
Запишем характеристическую матрицу:
Её корнями являются значения 1=1, 2=6.
Для 1=1 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид . Тогдаесть нормированный собственный вектор-столбец.
Для 2=6 найдём собственный вектор.
, где s – любое число.
Собственный вектор-столбец для 2=6 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.
Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .
Базисными векторами новой системы координат являются:
В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:
Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.