КР №2 высшая математика 1 курс
.docxМинистерство образования республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий
Специальность_________________________________
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
По курсу_____________________________________
Вариант №_____
Студент-заочник___ курса
Группы №______________
ФИО __________________
_______________________
Адрес__________________
_______________________
Тел. ___________________
Минск, 2009
Таблица ответов к задачам контрольной работы
Задача №1
1) 0; 2) 3) 4) 0; 5) 0; 6) |
Задача №2
5) 12;
|
Задача №3
|
Задача №4
неравенство является справедливым. |
Задача №5 ; Функция ни чётная, ни нечётная, ни переодическая; ;
убывает при возрастает при ; выпукла при вогнута при; Вертикальных асимптот нет, наклонной асимптоты справа нет, . |
Задача №6
|
Задача №7
|
Задача №8
|
Задача №9
|
Задача №10
|
Задача №1.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) 6)
Решение:
При x = 1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределённость вида , чтобы раскрыть эту неопределённость предварительно преобразуем дробь:
Переходим к пределу:
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
Домножим числитель и знаменатель на выражение :
Упростим выражение, используя замену бесконечно малых функций соответствующими эквивалентами
Можно заметить, что основание степени стремится к , так что получается формально . Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших близко к (и заведомо меньше, скажем, ) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень будет меньше и, следовательно, будет стремиться к 0.
Приведём этот предел к виду 2го замечательного предела
()
Произведём замену: ;
;
Задача №2.
Вычислить: 1-3) производную ; 4) производные и ; 5) () в данной точке ; 6) производную n-го порядка данной функции y(x).
1) 2)
3) ; 4)
5) ; 6)
Решение:
2)
4)
6)
Сперва найдём производные: 1ю, 2ю, 3ю и 4ю данной функции.
Исходя из полученых производных, составим формулу производной данной функции n-го порядка.
Задача №3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формле Лагранжа вычислить значение с точностью до 0,001.
Решение:
Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции :
значит
Будем производить вычисления с одним запасным знаком:
При имеем:
;
Задача №4.
Проверить справедливость неравенства с помощью исследования на экстремум.
Решение:
Рассмотрим функцию и найдём её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .
Найдём :
Найдём критические точки нашей функции:
Вычислим значения функции в критических точках и на точках, являющихся концами отрезка:
Значит,
max:
min:
Исходя из этого можно сделать вывод, что неравенство является справедливым.
Задача №5.
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
Имеем функцию .
Произведём её поэтапное исследование с последующим построением графика.
1) Область определения:
2) :
, .
Функция ни чётная, ни нечётная, ни переодическая.
3) Точки пересечения с осями координат:
с ;
с .
4) Промежутки монотонности и экстремумы функции:
при
min
убывает на промежутке
возрастает на промежутке.
5) Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба:
Найдём их с помощью 2й производной.
выпукла на промежутке
вогнута на промежутке.
является точкой перегиба.
.
6) Асимптоты графика функции:
Наша функция не имеет вертикальных асимптот, поскольку отсутствуют точки разрыва функции ().
Найдём наклонную асимптоту
Наклонной асимптоты справа нет.
Наклоная асимптота слева:
Прямая является горизонтальной асимптотой слева.
7) Построим график функции :
y
x
y = 0
-2
-1
0
Задача №6.
Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. стоимость одного квадратного метра материала из которого изготавливается дно бака, составляет a рублей, а стоимость одного квадратного метра материала, идущего на стенки бака, - b рублей. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материалы будут минимальными?
Решение:
Пусть R – радиус основания бака,
H
R
Н – его высота. Площадь основания
находится по формуле:
Площадь боковой поверхности
цилиндра находится по формуле:
Стоимость материалов на изготов-
ление бака тогда составит:
Так как объём цилиндра равен
Получим
Произведём исследование функции W(R) на минимум:
:
:
При переходе через критческую точку производная
меняет знак с «» на «», следовательно, данная точка является точкой минимума функции .
Отношение радиуса дна к высоте бака будет равно:
При данном отношении стоимость материалов, идущих на изготовления бака, будет минимальной.
Задача №7.
Найти неопределённые интегралы, в пунктах 1 и 2 результат проверить дифференыированием.
Решение:
Проверка:
{Интегрируем по частям}
Проверка:
Задача №8.
Вычислить определённые интегралы:
Решение:
Сделаем подстановку:
тогда
Изменим пределы интегрирования:
Сделаем подстановку:
Изменим пределы интегрирования:
Задача №9.
Вычислить приближённое значение
по методу:
1) прямоугольников;
2) Симпсона, разбивая промежуток интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с точностью до трёх десятичных знаков после запятой.
Решение:
1) Рассмотрим функцию Вычислим приближённое значение определённого интеграла по методу прямоугольников:
Вычислим значения функции при
Таким образом,
2) Вычислим приближённое значение определённого интеграла по формуле Симпсона:
Поскольку в предыдущем варианте расчёта мы уже получили все значения , то сейчас просто подставим их в наше уравнение.
Задача №10.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
, , .
Решение:
Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла по формуле: