1.

Пусть дано поле P. Непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены внутренний закон композиции VxV => V, называемый сложением, и внешний закон композиции PxV => V, называемый умножением на число из поля P, удовлетворяющие аксиомам: для любых a,b,c из V и α,β из P 1) a + b = b + a; 2) (a+b)+c = a+(b+c) 3) существует такой элемент 0 из V, что a + 0 = 0 + a = a 4) Для любого элемента из V существует обратный: a + (-a) = (-a) + a = 0 5) 1*a = a 6) α(βa) = (αβ)a 7) (α + β)a = αa + βa 8) α(a+b) = αa + αb

Лин. пространство над полем R называется вещественным, над полем C – комплексным.

Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они отличаются только числовым множителем: x = αy

Примеры: 1. Pⁿ – линейное пространство арифметических векторов x = {x₁,x₂…x_n}, все x_k из P, сложение и умножение задается покоординатно. 2. Аналогично, арифметическое пространство Cⁿ, Cⁿ_R – умножение только на вещ. числа.

Аффинным пространством над линейным пространством V называется множество S элементов, называемых точками, для которых заданы а) линейное пространство V над полем P б) отображение v: S x S => V, ставящее каждой паре упорядоченных точек A,B из S вектор v(A,B) из V и удовлетворяющий аксиомам: 1)Для любой точки A из S и любого вектора a из V существует единственная точка B такая, что v(A,B) = a 2) для любых трех точек A,B,C из S имеет равенство v(A,B) + v (B,C) = v(A,C) Обозначаются векторы так: (буду обозначать без стрелки)

Из аксиом следует: AB = 0 только тогда, когда A = B, AB = -BA

Размерностью аффинного пространства S называется размерность пространства V.

Примеры: 1.геометрические пространства V1,V2,V3 – аффинные пространства над самими собой 2. любое линейное пространство V можно рассматривать как аффинное над самим собой – для этого нужно определить отображение v(a,b) = a – b 3. любое аффинное пространство можно рассматривать как линейное. Для этого, зафиксировать точку O и назвать началом. Тогда каждой точке A можно сопоставить вектор OA, называемый радиус-вектором точки А относительно начала О. Множество радиус – векторов всех точек S и есть линейное пространство V.

Теорема. Отображение ф: S => V, определяемое правилом ф(А) = ОА, является биекцией, сохраняющей операцию v аффинного пространства, т.е. v(A,B) = v(ф(А), ф(В))

Доказательство: биективность вытекает непосредственно из аксиомы 1, а равенство получается из примера 2 и 3 (см ранее) – получается разность векторов: АВ = ОВ – ОА

Будем рассматривать конечные системы a1..ak векторов линейного пространства. Линейно независимая подсистема векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы, называется базой этой системы векторов.

Примеры

1. В системе из нулевых векторов нет базы, любая её подсистема линейно зависима. 2. Базисные строки матрицы, согласно теореме о базисном миноре образуют базу системы строк, рассматриваемых как векторы арифметического пространства. Это же относится и к базисным столбцам. 3. В системе трех неколлинеарных векторов плоскости V2 любая пара векторов образует базу.

Теорема. Подсистема является базой тогда и только тогда, когда образует максимальную линейно независимую подсистему.

Доказательство: Необходимость Пусть в системе a1..ar…ak, подсистема a1…ar образует базу. Тогда любая большая система будет линейно зависима (любой вектор, добавленный в базу – линейно будет выражаться через остальные). Так что, это максимальная линейно независимая подсистема.

Достаточность Если она максимального размера – при добавлении в неё любого другого вектора системы – она становится линейно зависимой - добавленный вектор линейно выражается через остальные вектора – таким образом, любой вектор системы линейно выражается через них.

Следствие. Все базы одной системы состоят из одного количества векторов, равного макс числу линейно независимых векторов. Число векторов базы называется рангом системы векторов. Две системы эквивалентны, если любой вектор одной системы линейно выражается через вектора другой системы.

Теорема. Если система векторов a1..ak линейно выражается через b1..bm, то rg(a1..ak) <= rg(b1..bm).

Доказательство: Раз все векторы одной системы выражаются через другую, то и база a1..ar линейно выражается через базу b1…bs – значит, r <= s.

Следствие. Ранги эквивалентных систем совпадают Следствие. Эквивалентные линейно независимые системы состоят из одинакового числа векторов

2. изоморфизм лин. пространств

Два линейных пространства называют изоморфными, если существует биективное отображение ф: V1 -> V2, которое сохраняет законы композиции, т.е, для любых x,y из V1 и α из P: 1) ф(x+y) = ф(x) + ф(y) 2) ф(αx) = αф(х). Примеры: 1) Геометрические пространства V1,V2 и V3 изоморфны пространствам R1,R2 и R3 арифметических векторов. 2) V2 изоморфно пространству комплексных чисел над вещественным полем 3) Пространства матриц mxn изоморфно пространству арифм. векторов длины mn

Простейшие свойства:

1. Отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на множестве всех линейных пространств над полем Р 2. в изоморфных пространствах а) образ (и прообраз) л/к векторов есть л/к образов (прообразов) с теми же коэффициентами б) образ (и прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор в) образ и прообраз лин н/з системы – линейно независимая г) образ и прообраз базиса – базис

Теорема. Критерий изоморфизма.

Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают. Док-во.

Необходимость. вытекает из свойства г (образ и прообраз базиса есть базис)

Достаточность.

Выбираем из пространств базисы, строим отображение, ставящее в соответствие каждому вектору из первого пространства вектор из второго пространства с такими же координатами в базисе и получаем биективное отображение, являющееся изоморфизмом!

Следствие. Любое n-мерное пространство изоморфно Rⁿ, с комплексными аналогично.

3. Сумма и пересечение линейных подпространств.

Пусть L1..Lk – линейные подпространства пространства V. Суммой подпространств L1..Lk называется множество всевозможных векторов x, представимых в виде x = x1 + … + xk, где xi из Li для любых i от 1 до k. Обозначается как L1 + L2 +.. + Lk Представление вектора в виде такой суммы называется разложением вектора x по подпространствам L1.. Lk

Пересечением подпространств L1..Lk называется множество, в котором содержаться только те вектора, которые содержатся в каждом из подпространств L1..Lk

Пересечение пустым не бывает, как минимум это нулевой вектор.

Теорема. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства V также является подпространством V. Доказательство следует из определения подпространства.

Теорема. Сумма линейных подпространств есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых подпространств. Доказательство – просто проверяем двустороннее вложение.

Следствие. Размерность суммы подпространств равна рангу мовокупности базисов слагаемых подпространств.

Теорема. Для любых двух подпространств выполняется равенство dim(L1+L2) = dimL1 + dim L2 – dim(L1^L2)

Доказательство. Если пересечение ненулевое, то смотрим его базис – f1..fn – так как пересечение является подпространством каждого из исходных подпространств, этот базис можно дополнить до базиса каждого из подпространств. Дополним, получим два базиса. В каждом из них будет n векторов из базиса пересечения. А если дополнить до базиса совокупности сразу, получим n векторов из базиса пересечения и еще m и s дополняющих векторов до базиса первого и второго подпространства. То есть, m+s+n = m+n + s +n – s – верно, доказано.

4. Прямая сумма линейных подпространств.

Сумма называется прямой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпространствам единственно.

Теорема. Критерии прямой суммы. Для подпространств L1..Lk конечномерного линейного пространства V следующие утверждения равносильны: 1) сумма подпространств L1..Lk – прямая 2) совокупность базисов L1..Lk – линейно независима 3) совокупность базисов подпространств является базисом суммы этих подпространств 4) размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей 5) существует вектор, для которого разложение по этим подпространствам единственно 6) произвольная система векторов, взятых по одному из каждого подпространства – л/нз 7) пересечение двух любых подпространств нулевое

Доказательство. 1 => 2 Предположим, что совокупность базисов – линейно зависима, т.е. существует нетривиальная нулевая л/к. Из кусочков этой линейной комбинации составим вектора x1, …, xk – каждый из комбинации базисов подпространств L1..Lk соответственно. Тогда их сумма даст нулевой вектор – получили два разложение нулевого вектора – противоречие 2 => 1 Предположим, что сумма не прямая – значит, есть один вектор, имеющий два разных разложения – найдем эти разложения и вычтем друг из друга, разложим их по совокупности базисов подпространства и в итоге это должно быть равно нулевому вектору – совокупность базисов линейно зависима, противоречие. 2  3 – из теоремы из предыдущего билета 3  4 – почти то же самое, ток написано по другому. 1 => 5 – очевидно 5 => 1 Аналогично 2 => 1, находим второе разложение нулевого вектора, прибавляем к тому, который имеет одно разложение и получаем два разложения – противоречие 1 => 6 пусть она (см условие 6) ) линейно зависима – тогда берем с нужными коэффициентами – получаем второе разложение нуля и значит, это не прямая сумма – противоречие 6 => 1 опять берем два разных разложения вектора, вычитаем одно из другого, каждую отдельную разность принимаем за вектор и получаем зависимую комбинацию из условия 6) 4  7 – следует из предыдущей теоремы.

Теорема. Линейное пространство является прямой суммой двух подпространств тогда и только тогда, когда 1) dimV = dim L1 + dim L2 2) L1^L2 = {0} Доказательство – необходимость следует из 4 и 7 утверждений, достаточность - смотрим по 2 условию, что сумма прямая, смотрим размерность L – оно равно размерности V – доказано.

Дополнительно подпространство Пусть L – линейное подпространство пространства V. Подпространство L^δ называется дополнительным к L, если в прямой сумме с L оно дает пространство V.

Теорема. Для любого подпространства существует дополнительное. Доказательство – находим базис L, дополняем его до базиса V – натягиваем оболочку на то, чем дополнили и получаем необходимое.

5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Пусть V – вещественное или комплексное линейное пространство. Отображение V x V -> P называется скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим аксиомам: для любых x,y,z из V и любого α и Р 1) (x,y) = ⌐(y,x) 2) (αx,y) = α(x,y) 3) (x+y,z) = (x,z)+(y,z) 4) (x,x) >=0 и = о только тогда, когда x = 0.

Вещественное линейное пространство с заданным скалярным произведением называется евклидовым, а комплексное – унитарным.

Примеры 1. Геометрические пространства V1,V2,V3. 2. В арифметическом пространстве Rⁿ скалярное произведение можно ввести как сумму попарных произведений координат.

Простейшие свойства: 1) (x,y+z) = (x,y) + (x,z) 2) (x,αy) = ⌐α(x,y) 3) (x,0) = (0,x) = 0 4) (x,y) = 0 для любого y только тогда, когда x = 0. 5) любое подпространство евклидового (унитарного) пространство – также евклидово (унитарно)

Теорема (неравенство Коши-Буняковского)

Для любых векторов x,y из E(U), выполняется неравенство |(x+y)|² <= (x,x)(y,y)

Доказательство.

Пусть x – не 0. Тогда: 0 <= (ax – y,ax – y) = (ax,ax) – (ax,y) – (y,ax) + (y,y) = |a|²(x,x) – a(x,y) - ⌐a(y,x) + (y,y) введем a = (y,x)/(x,x) и получим |(y,x)|²/(x,x) – (y,x)(x,y)/(x,x) – (x,y)(y,x)/(x,x) + (y,y) Домножаем на (x,x) и получаем, что хотели.

Теорема. Неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. доказательство – если x = 0 то равенство выполняется и векторы коллинеарны, если х не 0, то оно выполняется, если (ax – y,ax – y) = 0, то есть y = ax