1. Функції багатьох змінних, частинні похідні та диференціали, формула Тейлора.

Будь-який впорядкований набір n дійсних чисел x₁,…,х_r позначаються (х₁,…,х_n) або P(х₁,…,х_n)

І називаються точкою n – вимірного арифметичного простору Rⁿ. При цьому числа х₁,…,х_n називаються точки P(x₁,…,x_n). Відстань між двома точками P₁(x₁,…,x_n) і P₂(x₁,…,x_n) визначаються за формулою

Нехай D – довільна множина точок Rⁿ. Якщо кожній точці P(x₁,…,x_n), що належить D, ставиться в однозначну відповідність деяке число f(p)=f(x₁,…,x_n), то кажуть, що на множині D задана числова функція n змінних f(x₁,…,x_n). При цьому множна D називається облостю існування або областю визначення такої функції.

Приклад 1. Знайти область існування функції

Розв’язання. Область існування цієї функції можна визначити, виходячи з того, що логарифм існує лише для додатних значень аргумента. Отже,

Відповідь. Область існування функції в круг одиничного радіуса з центром у точці О(0,0) на координатній площині хОу.

Числа А границею функції у скіечкнній точці якщо для довільного існує таке, що з умови

випливає

Позначається це так:

Приклад 2. Знайти границю функції z=sinxy у точці P₀(0;0).

Розв’язання. При добуток прямує до 0, тому що кожний з множників прямує до нуля, а оскільки sino=0, то у цьому разі границя А=0.

Функція називається неперервною у точці Р_0, якщо виконуються такі три умови:

1/ точка Р₀ належить області існування функції f(p);

2/ існує ;

3/

Функція називається неперервною на множині D, якщо вона неперервна в кожній точці, що належить цій множині.

Нехай - точка, що належить області існування

Границя

/якщо вона існує/ називається частинною похідною /першого порядку/ даної функції по змінній x_k у точці Р і позначається або , або , або .

Частинні похідні функції багатьох змінних обчислюють, використовуючи звичайні правила і формули диференціювання функції однієї змінної /при цьому всі змінні, крім тієї, по якій проводиться диференціювання, вважаються сталими/.

Приклад 3. Знайти перші частинні похідні функції

Розв’язання.

Частинними похідними другого порядку функції.

називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядок. Вони позначаються так:

Аналогічно вводиться поняття частинних похідних третього і вищих порядків. При послідовному диференціюванні функції по різних змінних результат такого багатократного диференціювання не залежить від порядку, в якому проводилося це диференціювання, за умови, що здобуті похідні неперервні.

Приклад 4. показати, що для функції справедлива тотожність.

Розв’язання.

що і треба було довести.

Дотичною площиною до поверхні δ в її точці /точці дотику називається площина, що містить у собі всі дотичні прямі в точці до кривих, що лежать на δ і проходять через точку .

Нормальною до поверхні δ у точці називається пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини до δ у точці .

Якщо поверхня задана рівнянням то рівняння дотичної площини до цієї поверхні у точці має вигляд

а рівняння нормалі

У цьому і полягає геометричний зміст частинних похідних функціі двох змінних.

Якщо поверхня задана неявним рівнянням то рівняння дотичної площини та нормалі в точці мають відповідно вигляд

Приклад 5. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні

у точці

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні функції:

Звідси

Відповідь. Рівняння дотичної площини

а рівняння нормалі

Назвемо повним приростом функції багатьох змінних вираз

Наприклад, для функції двох змінних повний приріст

Диференціалом функції багатьох змінних у точці назвемо головну, лінійну відносно приростів аргументів, частину повного приросту функції:

Диференціали незалежних змінних за визначенням беруть такими, що дорівнюють їх приростам:

Для диференціала функції n змінних слушна формула

Як і для функції однієї змінної, диференціали функцій багатьох змінних застосовуються для наближених обчислень значень цих цих функцій /наближеною заміною повного приросту функції її диференціалом/.

Приклад 6. Обчислити точки і наближене /за допомогою диференціала/ значення виразу оцінити в процентах відносну похибку.

Розв’язання. Обчислити значення даного виразу за допомогою мікрокалькулятора, маємо Для наближеного обчислення за допомогою диференціала розглянемо функцію

тоді

Покладемо

Оскільки маємо

Звідси абсолютна похибка

а відносна

δ

Відповідь. відносна похибка

Зазначимо, що перший диференціал функції багатьох змінних має властивість інваріантності аналогічно диференціалу функції однієї змінної. Проілюструємо цю властивість на прикладі першого диференціала функції двох змінних. Нехай

Тоді

де

Останні два вирази є правилом диференціювання складної функції двох змінних.

Диференціал другого порядку від функції багатьох змінних визначається як диференціал від диференціала першого порядку, диференціал третього порядку – як диференціал від диференціала другого порядку і т.д. Проілюструємо таке визначення диференціалів вищих порядків на прикладі диференціалів другого та третього порядків функції двох змінних.

71 Нехай тоді

Для функцій багатьох змінних справедлива формула Тейлора. Нехай f(p) має m+1 непереривну частинну похідну в деякому околі точки і тоді для будь-якої точки

що не належить цьому околу, слушна рівність.

Де

- диференціал k-го порядку функції f(p) при переході від P₀ до Р і - так званий залишковий член.

;

- деяка точка вказаного околу. У випадку функції двох змінних формула Тейлора має вигляд

Залишковий член у цьому випадку можна записати так :

Якщо , то за допомогою формули Тейлора, нехтуючи залишковим членом, можна знайти значення нескінчено диференційовної функції наближено з довільною точністю.