4. Середня величина.

Один пішохід потрапляє під колеса

автомобіля кожні 17 хвилин. Бідолашний.

Я. Іпохорська.

Якби всі елементи сукупності робили рівні внески у загальний обсяг ознаки, то одним числом можна було б характеризувати всі елементи одразу. Але внесок одних більший, інших – менший. Тому ці різні елементи характеризують умовною величиною – середнім рівнем.

Для свого розрахунку середня величина вимагає двох конкретних параметрів:

• загального обсягу ознаки по сукупності;

• чисельності сукупності.

ПРИКЛАД – розрахунок середньої зарплати вимагає знання всього фонду оплати праці (загальний обсяг ознаки) і чисельності працівників. Середня вага виробу вимагає знання загальної ваги виробів (загальний обсяг ознаки) і кількості виробів. Середній тиск крові в колективі знання сумарного тиску по колективу (не несе самостійної змістовної суті) і чисельності колективу.

Для розрахунку середньої величини нам не потрібна інформація про значення ознаки у окремих елементів – нам потрібна величина загального обсягу ознаки по сукупності і чисельність елементів в сукупності.

Таким чином розрахунок середньої зводиться до відповіді на наступне питання: якщо загальний обсяг ознаки порівну (рівномірно) розподілити по всіх елементах сукупності, то яка величина ознаки припаде на кожний елемент?

Природі багатьох сукупностей притаманна властивість елементів групуватись навколо певного значення, яке дуже часто являє собою середній рівень ознаки по сукупності. Наявність у статистичній сукупності такого рівня є проявом статистичної закономірності. Ця закономірність пов’язана з загальною якістю, притаманною усім елементам сукупності та з умовами існування елементів сукупності.

ПРИКЛАД. Вартість об’єктів нерухомості залежить від самих об’єктів, та їх розташування. Рівень оплати праці залежить від самої праці та від країни де працюють.

Але середній рівень не обов’язково є тим значенням навколо якого відбувається групування. Середній рівень за своєю суттю – це результат штучної “урівняловки”. Він дорівнює тій величині, яка утвориться після виконання вимоги: загальний обсяг ознаки поділити на всіх порівну. Іноді це ефективний підхід, іноді не дуже.

ПРИКЛАД. Якщо у палаті шпиталю, де температура повітря складає 23˚С лежать чотири пацієнта з температурою 40˚С, а один помер і має температуру навколишнього середовища, то середня температура у пацієнтів цієї палати буде дорівнювати 36,6˚С.

Заміна множини індивідуальних значень сукупності на середню повинна відповідати основній умові: не змінювати загального обсягу явища. Тобто, якщо б кожний елемент сукупності мав би значення ознаки, що дорівнювало б середньому, то загальний обсяг ознаки по сукупності, при цьому, не зміниться.

Формально середніх є безкінечно багато, але практичне застосування мають не більше десятка з них, які по суті є різним проявом двох: середньої арифметичної, та середньої геометричної.

2.1.Середня арифметична.

Середня арифметична являє собою відношення сумарної величини всіх варіант ознаки до їх чисельності

х¯ = Σхι / n

Вона є самою простою і самою поширеною, оскільки переважна більшість сукупностей для визначення загального обсягу ознаки вимагають простої суми всіх варіант.

Дуже часто окремі варіанти в сукупності повторюються. У такому разі їх можна об’єднувати в групи, а загальний обсяг ознаки визначається, як сума добутків значень конкретної варіанти на її чисельність (частоту). Цей процес має назву зважування. Така середня арифметична має назву зваженої. Вона наочно демонструє, що значення середньої залежить як від величини варіанти так і від її чисельності. Вага кожної варіанти це її чисельність у сукупності.

х¯ = Σfіхι / Σfi

Середня арифметична зважена є просто іншою формою запису середньої арифметичної простої. За суттю вони ідентичні.

Властивості середньої арифметичної.

• Пропорційна зміна значень варіант викликає відповідну зміну середньої арифметичної.

• Пропорційна зміна ваг кожної варіанти не змінює середньої арифметичної.

• Сума відхилень індивідуальних значень елементів від середньої арифметичної дорівнює нулю

• Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки у елементів сукупності від їх середньої арифметичної менше, ніж від любого іншого значення.

2.2.Середня геометрична

Деякі явища характеризуються тим, що загальний обсяг ознаки по сукупності визначається не сумою елементів, а їх добутком.

ПРИКЛАД – розглядається сукупність років і спостерігають у скільки разів за кожний з цих років відбувалось зростання ціни на певний товар. Нехай буде така картина:

Рік	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
У скільки разів зросла ціна за рік	1,20	2,00	1,30	1,05	2,10

Зрозуміло, що на протязі всіх 5-ти років ціна зросла в 7,65 рази. Значить визначення того як вона зростала в середньому за рік означає, що треба встановити таке число Z, що якби кожного року ціна зростала у Z разів, то за п’ять років вона якраз і зросла б у 7,65 рази.

Тому, коли загальний обсяг ознаки по сукупності формується, як добуток деяких величин, то середня знаходиться, як середня геометрична.

Х = ʰ√ххх…х

2.3.Середня гармонічна.

Є ще один вид середньої величини, що використовують у статистиці – середня гармонічна.

Якщо маємо сукупність із n чисел: х1,х2, х3…х n, то середня гармонічна має вигляд:

n

х¯ =

Σ (1/ хі)

Насправді середня гармонічна – це форма середньої арифметичної, яку вона приймає у окремих випадках. Досить часто трапляються такі сукупності, де чисельність певної варіанти пов’язана з її величиною зворотною пропорційністю (кількість товарів, вироблених за зміну обернена до часу на їх виготовлення, кількість товару, закуплена на фіксовану суму зворотньо залежить від ціни …).

ПРИКЛАД – три менеджери фірми на протязі робочого дня обслуговують клієнтів. Перший на клієнта витрачає 20 хв, другий 30 хв, а третій – 50 хв. . Скільки часу в середньому обслуговується один клієнт на цій фірмі?

Зрозуміло, що кількість клієнтів, що обслужив за день перший менеджер більша ніж у другого і тим більша ніж у третього. Маємо три варіанти ознаки (час обслуговування клієнтів) і їх частоти (чисельність клієнтів кожного менеджера). Вони пов’язані між собою оберненою залежністю.

Використати в якості відповіді на питання із прикладу середню арифметичну трьох чисел (20, 30 і 50) некоректно, бо кожний менеджер вносить різну “лепту” у створення сукупності клієнтів. Один швидко обслуговує і вносить суттєвий вплив, інший обслуговує повільно, відповідно клієнтів обслуговує мало, а значить і вплив клієнтів останнього на характер сукупності менш значний. Використання середньої арифметичної для трьох чисел можливо було б тільки тоді, коли кожний менеджер обслуговує за день однакову чисельність клієнтів (їх вплив однаковий). Інакше кажучи вся сукупність клієнтів складається з трьох груп, які обслуговувались трьома різними менеджерами, і ці три групи різні за своєю чисельністю.

Взагалі отримане середнє значення Y повинно відповідати наступній умові: якби кожний клієнт обслуговувався саме Y хвилин, то добуток середнього часу Y на фактичну чисельність клієнтів, що були обслужені повинен суворо дорівнювати загальні затрати часу менеджерів (для трьох це три робочих дні). Або навпаки: загальний час роботи менеджерів, поділений на середні затрати часу на одного клієнта повинен чітко дорівнювати такої самої кількості клієнтів, як і при реальній картині обслуговування (20 хв., 30 хв. і 50 хв.).

Так от, шляхом нескладних математичних перетворень знайдено, що при оберненій залежності у сукупності між частотою певної групи і її варіантою середня арифметична для сукупності дорівнює середній гармонічній для сукупності варіант.

Середня гармонічна носить назву простої, якщо сумарна величина ознаки по всіх групах (добуток окремої варіанти на її частоту) однакова.

Для наведеного прикладу – це робочий час менеджерів (добуток часу обслуговування одного клієнта на кількість клієнтів). Для всіх робочий день єдиний.

Якщо сумарна величина ознаки по всіх групах різна (кожен менеджер працює різний час), то розрахунок середньої набуває трохи інший вигляд і, за аналогією з середньою арифметичною носить назву середня гармонічна зважена:

Σ хі* fі

х¯ =

Σ ( хі* fі / хі)

Такий підхід використовують, коли апріорі невідома чисельність кожної варіанти, але відома сама варіанта і відомий обсяг ознаки по кожній групі (скільки часу працював кожний менеджер).

Обсяг ознаки – це не вага. Це добуток ваги на значення варіанти.

2.4.Середня хронологічна.

Середня хронологічна використовується в умовах неповної інформації про динаміку явища.

ПРИКЛАД – постійно змінюється ціна на певний товар, температура повітря, валютний курс… І потрібно встановити середні (ціну, температуру, курс) за певний інтервал часу. Але в розпорядженні мають інформацією про значення параметру тільки в окремі моменти часу.

Якщо інтервали між моментами спостереження однакові, то середня хронологічна має наступний вигляд:

( х1+ хn)/2 + х1+ х1 +… +хn-1

х¯ =

n-1

Подібний вигляд середньої отримують на підставі припущення, що між отриманими “моментними” значеннями відбувалась рівномірна зміна параметра. Тоді розрахунок середньої арифметичної для параметру, що змінюється за даним припущенням і дасть середню хронологічну.

Якщо інтервали між моментами спостереження різні, то враховують “вагу” інтервалів. Чим інтервал більший, тим він “вагоміший”. Такий підхід не зовсім коректний, але в умовах неповноти інформації треба якось визначатись. Тому в загальних випадках і погодились на подібне припущення.

(Лекція 4)