4.2. Основні рівняння еквівалентності

Основоположним постулатом майже всіх сучасних еко­номічних теорій є твердження, що головною ціллю будь-якої ко­мерційної діяльності є отримання прибутку. Економічний та фі­нансовий аналіз цього показника передбачає вимірювання певної сукупності коефіцієнтів щодо рентабельності, ліквідності, ділової активності тощо.

У фінансових розрахунках, аналізуючи ефективність підприєм­ницької діяльності, зазвичай говорять про норму (ставку) дохід­ності тієї чи іншої фінансової операції.

У попередніх темах було розглянуто цілу низку ставок до­хідності різних видів та типів. Нагадаємо, що завдяки відміннос­тям у методиках фінансових обчислень розрізняють такі основні види ставок доходності:

• залежно від правила нарахування процентів — проста та складна ставки;

• залежно від операції (нарощування чи дисконтування процен­тів) — ставки відсотка (нарощування) та дисконтування (приведення);

• залежно від операції (дисконтування чи утримання процен­тів) — ставки дисконтування (декурсивна) та облікова (антисипативна);

• залежно від способу врахування часової бази розрахунків — комерційна та точна ставки;

• залежно від способу врахування ринкової дохідності — фік­сована та плаваюча (змінна) ставки;

• залежно від кількості нарахувань протягом одного періоду часу за правилом складних процентів — номінальна та ефе­ктивна складні ставки;

• залежно від частоти нарахувань за правилом складних про­центів — дискретна та неперервна складні ставки;

• з урахуванням або без урахування темпу інфляції — реаль­на та номінальна ставки;

• з урахуванням або без урахування ризику неплатежу — очі­кувана та гарантована ставки дохідності.

Таким чином, зміна методики обчислення ставки дохідності може призвести до суттєвих змін вартісних та / або часових ха­рактеристик фінансових угод. З метою збереження необхідної норми дохідності фінансової операції, незалежно від методики та тривалості нарахувань процентів, використовують рівняння еквівалентності щодо множників нарощування, дисконтування, утримання.

Розглянемо основні рівняння еквівалентності та відповідні ек­вівалентні ставки дохідності в розрізі можливих методик визна­чення процентів.

4.2.1. Еквівалентність множників нарощування простих та складних процентів

Згадаємо, що існує дві основних методики нарощу­вання процентів - правило простих та правило складних про­центів.

У відповідності з рівнянням простих відсотків множник наро­щування простих відсотків — це величина (1 + r*n).

А у відповідності з рівнянням складних відсотків множник нарощування складних відсотків — це величина (1 + r)ⁿ.

Позначимо ставку дохідності, яка розрахована за простими процентами як r_is, а ставку розраховану за складними процента­ми, як r_ic.

Тоді, відповідно введених позначень, умову еквівалентності простих та складних множників нарощування процентів можна записати у вигляді наступного рівняння:

(4.1)

Зауважимо, що формула (4.1) передбачає, що нарощування за простими та складними процентами здійснюють протягом одна­кового терміну часу, тобто .

З рівняння (4.1) можна виразити еквівалентні прості та склад­ні ставки дохідності, які застосовують для знаходження еквівален­тного множника нарощування при зміні методики нарахування процентів.

У разі, коли необхідно визначити просту ставку за відомої склад­ної ставки дохідності, вираз (4.1) необхідно перетворити так:

(4.2)

Якщо ж розв'язку потребує обернена задача - знаходження складної ставки за відомої простої ставки дохідності, доцільно скористатися наступним виразом:

(4.3)

Зазначимо, що вирази (4.2) і (4.3) можна отримати не лише за умови рівності множників нарощування, але й, абсолютно ана­логічно, за умови рівності відповідних множників дисконтування простих та складних процентів.

Аналізуючи множники нарощування простих та складних про­центів, необхідно також розглянути питання порівняння темпів зростання вартості при застосуванні цих методик.

Графічна ілюстрація співвідношення множ­ників нарощування наведена на рис.4.1.

Зазначимо, що кут нахилу функцій, зображених на рис. 4.1, залежить від величини ставки дохідності r. Чим більша ця ставка, тим швидше зростає вартість у часі, і тим крутіший нахил відпо­відної функції.

(1+r)ⁿ

1+r*n

1 r

1 t

Рис. 4.1. Графік множників нарощування вартості за правилами простих та складних процентів

З рис. 4.1 неважко побачити, що на проміжку t є (0;1) більшими є значення функції множника нарощування простих процентів, а на проміжку t є (1;n), навпаки — значення функції, що відповідає пра­вилу складних процентів. Графіки функцій множників нарощування перетинаються лише один раз при t = 1. Тобто, еквівалентність (рів­ність) множників нарощування простих та складних процентів, за умови однакових параметрів r та п, досягається лише за одно­разового нарощування коштів. Дійсно, за умов r_іс = r_is = r та t=1: , що відповідає множнику нарощування для одноразового нарощування коштів.

В цілому, порівнюючи множники нарощування простих та складних процентів можна зробити відповідні висновки.

Якщо взяти однакові за величиною, але різні за правилом на­рощування процентів річні ставки нарощування, то:

• для строку меншого за один рік вартість нарощується швидше за правилом простих процентів, тобто:

;

• для строку більшого, ніж один рік вартість нарощується швидше за правилом складних процентів, тобто

;

• для строку t=1 рік множники нарощування дорівнюють один одному, тобто

Оскільки у комерційних розрахунках тип множників нарощування зазвичай вибирають відповідно з принципами максимізації прибутку, то існує правило — у короткострокових фінансових угодах (строк менший за 1 рік) нарощування краще здійснювати за простими процентами, а у довгострокових — за складними процентами.