- •Стержневые системы
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Кинематический анализ стержневых систем
- •2.1 Необходимый признак геометрической неизменяемости.
- •2.2. Достаточный признак геометрической неизменяемости
- •3. Расчет статически определимых стержневых систем
- •3.1. Степень статической неопределимости
- •3.2. Определение внутренних усилий в стержнях ферм
- •3.3. Об определении внутренних сил в рамно-балочных системах
- •3.4. Определение внутренних сил в тонкостенных стержневых системах
- •3.5. Определение перемещений в термоупругих стержневых системах
- •4. Расчет статически неопределимых стержневых систем
- •4.1. Метод сил
- •4.2. Определение перемещений
3.3. Об определении внутренних сил в рамно-балочных системах
Вопрос об определении внутренних сил (осевых и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов) в статически определимых балках и рамах подробно изучался в курсе сопротивления материалов. Все предложенные там методы основаны на рассмотрении равновесия отсеченной части балки или рамы и практически без изменения переносятся на рамно-балочные статически определимые системы после расчленения их на балочные и рамные элементы.
Здесь мы остановимся лишь на изложении процедуры вычисления внутренних сил в круговой раме при действии на нее сосредоточенных сил и моментов, а также переменных по величине и (или) направлению распределенных нагрузок. Освоение этого материала вызывает у студентов наибольшие трудности.
В се принципиальные моменты вывода формул для внутренних сил в рамах вполне прослеживается на примере плоской полукруглой рамы, заделанной на одном конце.
Рассмотрим сначала случай действия на такую раму сосредоточенных воздействий — силы, направленной под некоторым углом к горизонтальной оси, и момента (рис. З.6 а).
Непосредственно из рис. 3.6 6 видим, что осевая сила , перерезывающая сила и изгибающий момент в произвольном сечении рамы, фиксируемом углом , выражаются формулами
при
при
|
(3.4) |
В частности при действии силы по касательной ( ) или по нормали ( ) к оси рамы из последних формул выводим
при - сила P приложена по касательной к окружности,
при - сила P приложена по нормали к окружности,
Пусть теперь на раму действует переменная по величине и направлению распределенная (погонная) нагрузка. Значение ее зададим функцией , а направление — функцией , определяющей в текущем сечении рамы значение угла между направлением действия распределенной нагрузки и горизонтальной осью (см. рис. 3.7 а).
Искомые формулы для , , и получаются здесь путем интегрирования по всей оси отсеченной части рамы их дифференциалов. Последние легко выражаются через элементарную внешнюю нагрузку, трактуемую как сосредоточенная сила.
Обращаясь к рис. 3.7 6 и ссылаясь на предыдущие результаты (3.4), находим
|
(3.5) |
Из этих общих выражений вытекают известные частные результаты.
Так если неравномерно распределенная внешняя нагрузка действует по нормали к упругой оси рамы (рис. 3.7 в), то, как нетрудно понять, и в силу этого формулы (3.5) принимают вид
|
(3.5а) |
Отсюда для равномерно распределенной нормальной нагрузки имеем
|
(3.5б) |
Пусть теперь на раму действует неравномерно распределенная нагрузка по касательной к ее упругой оси (рис. 3.7 г). Тогда , так что из (3.5) находим
|
(3.5в) |
В частности при
|
(3.5г) |
А налогичным образом из формул (3.5) выводятся и другие частные результаты.
3.4. Определение внутренних сил в тонкостенных стержневых системах
О братимся сначала к изучению самой простой плоской тонкостенной стержневой системы, показанной на рис. 3.8 а. Определяя усилия в опорных стержнях, приходим к свободной системе, изображенной на рис. 3.8 6. Искомыми внутренними силами в ней являются постоянный поток касательных сил , усилия , в горизонтальных стержнях 1-2, 3-4, которые часто называют поясами, и усилия , в вертикальных стержнях 1-4, 2-3, именуемых стойками. Заметим, что все эти усилия, вообще говоря, переменны по длине соответствующего стержня.
Однородность структуры системы вдоль осей и подсказывает следующий шаг — рассмотреть равновесие фрагментов, отсекаемых от системы плоскостями, нормальными к этим осям (см. рис. 3.8 в, г).
Записывая уравнения равновесия фрагмента, изображенного на рис. 3.8 в, находим
Аналогично для фрагмента, показанного на рис. 3.8 г, имеем
Как и следовало ожидать, первые уравнения равновесия обоих фрагментов приводят к одному и тому же результату.
Отметим, что после определения ПКС усилие в любом стержне можно найти другим способом — из равновесия его фрагмента. Например, для стойки 2-3 это хорошо видно из рис. 3.8 д.
Для наглядности на рис. 3.8 е показаны эпюры усилий в стержнях системы.
Интересно заметить, что внутренние силы в сечениях изучаемой системы, параллельных координатным осям, сводятся к силе и моменту. Так, например, в вертикальных сечениях системы (рис. 3.8 в) имеем силу и момент , порождаемый парой равных по величине, но противоположных по направлению усилий , . Этот факт позволяет дать неожиданную и полезную интерпретацию изучаемой тонкостенной стержневой системы. А именно, отвлекаясь от соотношения размеров и (здесь оно не имеет никакого значения), будем схематизировать эту систему как консольно заделанную по левому вертикальному сечению балку, загруженную силой на свободном конце. Эта схема вместе с эпюрами изгибающего момента и перерезывающей силы показана на рис. 3.9.
О тсюда заключаем, что изгибающий момент порождается в тонкостенной стержневой системе парой усилий в поясах, а перерезывающая сила — ПКС в тонкой стенке, причем, как нетрудно видеть,
Таким образом, изучаемая тонкостенная стержневая система представляет модель балки, в которой изгибающий момент и перерезывающая сила возникают в различных взаимодействующих между собой упругих элементах. В силу этой интерпретации подобные тонкостенные стержневые системы часто называют тонкостенными балками.
На рис. З.10 а показана более сложная тонкостенная стержневая система. Внутренние силы в ее элементах можно определить следующим образом. Сначала находятся усилия , , в опорных стержнях, после чего образуется соответствующая свободная система (рис. 3.10 6). Усилия в поясах и ПКС на каждом м участке (между стойками и ) определяются из уравнений равновесия фрагмента системы, отсекаемого соответствующим вертикальным сечением (см. рис. З.10 в; , — усилия на ом участке соответственно верхнего и нижнего пояса; — ПКС на ом участке). Усилия в стойках легко находятся из уравнений равновесия их фрагментов (см., например, рис. 3.10 г; — усилие в ой стойке).
В части определения усилий в поясах и ПКС можно указать другой более предпочтительный путь: прибегнуть к интерпретации системы тонкостенной балкой, построить для последней эпюры изгибающего момента и перерезывающей силы и воспользоваться последними формулами.