Стержневые системы

1. Основные понятия и определения

Стержневые конструкции представляют собой совокупность прямолинейных и (или) криволинейных стержней, соединенных между собой тем или иным способом. Такие конструкции широко применяются в различных областях техники. Типичными примерами их могут служить каркасы крыла и корпуса летательного аппарата, усиленные шпангоуты и нервюры, силовые лонжероны, конструкции шасси и крепления двигательных установок и другие агрегаты летательного аппарата. Из всех достоинств, обусловивших столь широкое распространение стержневых конструкций, следует выделить, прежде всего, сравнительную простоту изготовления и прочностного анализа их элементов.

Расчету конструкции на прочность обязательно предшествует изучение ее деформирования. Оно же непременно начинается с фиксации моделей деформирования и взаимодействия элементов конструкции или, как часто говорят, с выбора расчетной схемы конструкции. Нельзя путать, а точнее следует всегда разграничивать, реальную конструкцию и расчетную схему ее, элементы реальной конструкции и их образы–элементы расчетной схемы, а также фактическое взаимодействие элементов реальной конструкции и взаимодействие элементов расчетной схемы. В зависимости от целей исследования и нужной степени детализации процесса деформирования, включая требуемую точность вычислений, одной и той же реальной конструкции можно сопоставить различные расчетные схемы.

Обратимся к выяснению смысла расчетной схемы стержневой конструкции, именуемой в дальнейшем стержневой системой. Для этого, как уже отмечалось, нужно оговорить модели деформирования и взаимодействия элементов стержневой конструкции — стержней.

Напомним, что под стержнем понимается тело, у которого один размер (длина) намного превосходит другие его измерения. Стержень называется упругим, если материал, из которого он изготовлен, подчиняется в процессе его деформирования закону Гука. Из курса сопротивления материалов известно, что в рамках гипотезы плоских сечений стержень испытывает при произвольном нагружении растяжение—сжатие, изгиб в двух плоскостях и кручение. Его обычно представляют упругой линией, наделенной заданными жесткостями в отношении перечисленных видов деформирования. Такая упругая линия и является наиболее общей (в рамках гипотезы плоских сечений) моделью упруго деформируемого реального стержня. Наряду с ней используются и частные модели сжато–растянутого стержня, балки и рамы (криволинейной балки). Первая из них представляет собой прямую упругую линию, наделенную лишь жесткостью на растяжение—сжатие, а последующие — соответственно прямую и кривую упругие линии, обладающие в основном жесткостями на изгиб (в общем случае в двух плоскостях) и кручение.

Элементы стержневой конструкции скрепляются между собой болтами, заклепками или же свариваются, причем для увеличения жесткости соединения нередко используются накладки и косынки. Размеры соединения обычно существенно меньше длин стержней. Поэтому в стержневых системах оно изображается точкой пересечения осей сходящихся в нем стержней и называется узлом. В зависимости от способа имитации реального взаимодействия стержней в соединении различают жесткие, упругие и шарнирные узлы. Жесткий узел исключает взаимные смещения, в том числе и повороты, сходящихся в нем стержней и моделирует очень жесткое реальное соединение. В упругом узле допустимы взаимные смещения стержней, чаще всего взаимные повороты, которые лимитируются упругими пружинами, моделирующими упругую податливость реального соединения в отношении таких смещений. Что же касается шарнирного узла, то в нем элементы стержневой системы могут свободно поворачиваться друг относительно друга без всяких ограничений. Однако взаимные смещения недопустимы и здесь. Такие узлы вводятся в стержневую систему в тех случаях, когда жесткость реального соединения в отношении поворотов стержней не играет существенной роли и ею можно пренебречь. Нетрудно понять теперь и смысл жестко–упругих, жестко–шарнирных, упруго–шарнирных и других более сложных комбинированных узлов. Для ясности на рис. 1.1. показаны схема реального плоского сварного соединения стержневой конструкции и возможные способы моделирования его в стержневой системе.

С тержневые системы классифицируются по различным признакам. По структурно-модельному признаку, т. е. в зависимости от моделей деформирования и взаимодействия элементов стержневой конструкции, стержневые системы подразделяются на фермы, рамно-балочные и комбинированные системы.

Под фермой понимается стержневая система, образованная путем шарнирного соединения между собой стержней, работающих только на растяжение–сжатие (см. рис. 1.2 а). Очевидно, что внешние силы следует прикладывать к ферме лишь в ее узлах. Исключение могут составить силы, совпадающие по направлению с осью одного из стержней фермы.

Рамно-балочные стержневые системы образуются в результате жесткого, упругого или шарнирного соединения между собой балок и рам (рис. 1.2 б). В таких системах внешние воздействия можно прикладывать как угодно.

Т онкостенные стержневые системы — типичные специфические расчетные схемы для тонкостенных конструкций ЛА. Подобно фермам они образуются путем шарнирного соединения работающих лишь на растяжение–сжатие стержней, но в отличии от них содержат еще тонкие прямоугольные пластины (стенки) постоянной толщины. Эти пластины скреплены кромками с примыкающими к ним осями стержней, причем по предположению при деформировании всей стержневой системы в них (стенках) реализуется однородный чистый сдвиг.

К такой модели стенки приводят следующие рассуждения. Предположим, что прямоугольная пластина, находящаяся в плоском напряженном состоянии, отнесена к прямоугольным же декартовым координатам . Оси этой системы отсчета расположены в срединной плоскости пластины параллельно ее кромкам. При отсутствии объемных сил уравнения локального равновесия имеют вид

где, как обычно, , — нормальные, а — касательное напряжения. Если теперь принять, что пластина не воспринимает нормальные напряжения, т. е. , то получим

Это и означает, что касательное напряжение, а в силу закона Гука , где — модуль сдвига, и сдвиг не зависят от координат , т.е. в пластине реализован однородный чистый сдвиг. Условимся в дальнейшем вместо касательного напряжения использовать так называемый поток касательных сил (ПКС) , связанный с простым соотношением: . Здесь буквой обозначена постоянная толщина пластины.

В качестве примера на рис. 1.2 в изображена тонкостенная стержневая система с тремя стенками.

Стержневые системы, составленные из фрагментов вышеназванных систем и, может быть, абсолютно твердых по своей природе (недеформируемых) тел, назовем комбинированными системами. В качестве примера таких систем на рис. 1.2 г показана стержневая система из двух балок, скрепленных между собой посредством ферменной подсистемы.

Стержневые системы всех видов делятся на плоские и пространственные. Плоские системы, примеры которых даны на рис. 1.2, принадлежат одной плоскости и в зависимости от их вида могут деформироваться по-разному. Так плоские фермы допускают деформирование лишь в своей плоскости. Поэтому действующие на них внешние силы должны принадлежать этой же плоскости. Плоские рамно-балочные стержневые системы способны деформироваться, вообще говоря, в пространстве. Однако при действии на них плоских нагрузок (в плоскости системы) их деформирование будет также плоским.

В этом разделе мы будем заниматься статикой термоупругих стержневых систем — систем, составленных из упругих элементов и находящихся в состоянии равновесия под действием заданных неизменных во времени внешних сил и температурного нагрева. Конечная цель статического расчета — определение внутренних сил и перемещений элементов стержневой системы.

Пребывать в состоянии равновесия под действием произвольных внешних сил способны не все, а лишь так называемые геометрически неизменяемые стержневые системы. Прежде чем дать толкование этого термина, заметим, что одна и та же стержневая система может быть свободной, закрепленной и полусвободной (полузакрепленной).

Свободная система не связана с опорами и может менять свое положение в пространстве. Ее равновесие осуществимо только при действии на нее самоуравновешенных внешних сил.

Для закрепленной стержневой системы этого оговаривать не нужно, т. к. любые внешние силы уравновешиваются реакциями в связях стержневой системы с опорами. Минимально необходимое число таких связей совпадает с числом степеней свободы системы как единого абсолютно твердого тела. Для плоских систем оно, как известно, равно трем, а для пространственных — шести. Стержневые системы с минимально необходимым для их неподвижности числом опорных связей условимся называть нормально закрепленными в отличие от избыточно закрепленных систем, соединенных с опорами большим, чем это требуется для неподвижности, числом связей.

Наконец, полусвободная (частично закрепленная) система обладает не полной подвижностью и может находиться в равновесии под действием лишь частично самоуравновешенных внешних сил. В остальном эти силы уравновешиваются реакциями в опорных связях. Число последних в данном случае меньше числа степеней свободы системы как абсолютно твердого тела.

Когда говорят, что тело находится в равновесии, то имеют в виду одновременное выполнение равновесия тела в целом (глобального равновесия тела) и любой изолированной его части с учетом приложенных к ней сил взаимодействия с другими отброшенными частями тела. Это в полной мере относится и к составным телам, примером которых служат стержневые системы. До сих пор речь шла об осуществимости глобального равновесия последних в зависимости от характера их закрепления. Естественно теперь поставить вопрос, а всегда ли из глобального равновесия стержневой системы следует равновесие любого изолированного ее элемента или фрагмента. Как ни странно, но ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный, в чем легко убедиться путем следующих рассуждений.

Вообразим себе стержневую систему из двух таких же подсистем, соединенных между собой так, что возможно какое-либо взаимное смещение их друг относительно друга как абсолютно твердых тел. Будем считать, что для каждой подсистемы реализуется равновесие в широком смысле, т. е. имеет место глобальное равновесие подсистемы и равновесие любого изолированного ее фрагмента. Предположим, далее, что внешние воздействия на систему представлены двумя группами внешних нагрузок с равными, но противоположно направленными главными векторами внешних сил и моментов. Одна группа нагрузок действует на одну подсистему, а другая — на другую. Очевидно, что глобальное равновесие системы в целом будет при этом выполнено. Однако, равновесие изолированных подсистем достижимо не всегда, т. к. их подвижное соединение исключает возможность уравновесить реакциями в связях произвольные внешние силы, прикладываемые к подсистемам.

Итак, в зависимости от осуществимости равновесия в широком смысле слова все стержневые системы можно разделить на две группы.

К одной из них причислим те системы, для которых такое равновесие выполняется всегда — при произвольных внешних воздействиях. Они-то и являются геометрически неизменяемыми системами.

Ко второй группе отнесем системы, равновесие которых осуществимо лишь для внешних сил, отвечающих в каждом конкретном случае вполне определенным условиям самоуравновешенности. Последние системы — антиподы первым и называются геометрически изменяемыми системами.

Обычно геометрическую неизменяемость определяют, как способность системы изменять свою форму под действием произвольных внешних сил лишь за счет деформирования своих элементов. Такое определение безупречно для закрепленных систем, т. к. оно отражает только понятие внутренней геометрической неизменяемости.

Однако им не охватывается внешняя геометрическая неизменяемость, означающая неизменность положения (а не формы) системы в пространстве.

В широком смысле геометрическую неизменяемость можно определить как способность любых элементов и фрагментов стержневой системы, рассматриваемых как абсолютно твердые тела, сохранять неизменным их взаимное расположение под действием произвольных внешних сил, а системы в целом, опять же как абсолютно твердого тела и под действием произвольных внешних сил, — свое положение в пространстве.

Нетрудно видеть, что первая часть этого определения равносильна приведенному выше определению внутренней геометрической неизменяемости стержневой системы.

Нахождению внутренних сил и перемещений элементов стержневой системы всегда предшествует исследование ее геометрической неизменяемости, получившее название кинематического анализа. Поэтому статический расчет стержневой системы включает в себя, по существу, три этапа: кинематический анализ системы, определение внутренних сил в ее элементах и определение перемещений (обобщенных) отдельных точек или сечений элементов системы.

При реализации второго этапа могут представиться две возможности, в соответствии с которыми все стержневые системы подразделяются на два класса. К одному из них относятся системы, внутренние силы в элементах которых находятся лишь с помощью уравнений равновесия (уравнений статики). Такие стержневые системы называются статически определимыми. Остальные стержневые системы требуют для определения внутренних сил в их элементах привлечения дополнительных (нестатических) соотношений и образуют класс статически неопределимых стержневых систем.

Следует различать внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость. Внутренняя статическая неопределимость обусловлена строением самой стержневой системы (а не характером ее закрепления) и судить о ней можно лишь после превращения исходной системы, если, конечно, она прикреплена к опорам, в свободную. Внешняя статическая неопределимость порождается закреплением системы. Она присутствует тогда, когда внешние связи, наложенные на систему, в избытке исчерпывают ее степени свободы как абсолютно твердого тела, в результате чего опорные реакции не могут быть найдены из уравнений глобального равновесия изолированной от опор стержневой системы.