11. Перелет между некомпланарными орбитами

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, должен совершить некомпланарный перелет с низкой круговой на высокую круговую орбиту, имеющие разные наклонения плоскости к экватору. Двигатель в процессе перелета работает постоянно.

В течение одного оборота вокруг Земли вектор тяги в пространстве постоянно ориентирован так, что создается управляющее ускорение вдоль переходной орбиты и по нормали к ее плоскости. При этом переходная траектория представляет собой раскручивающуюся спираль. Переходную траекторию аппроксимируем последовательностью круговых орбит радиуса r_k

Уравнения движения в безразмерных переменных для рассматриваемого случая имеют следующий вид¹

где – безразмерный радиус в начале k-го витка; i_k – наклонение к плоскости экватора;

V_k – безразмерная круговая скорость; t_k – безразмерное время.

Заметим, что есть безразмерный период обращения на k –м витке.

Требуется определить последовательность , и число N, которые доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях:

, , ,

где r* и i* – заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения.

Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение квадратичный штраф

,

где , , – весовые множители.

Начальные условия: ; i₁ = 60^о;

Конечная орбита: r* = 2…6; i* = 0..50^о;

Безразмерное ускорение a = 0.0001…0.001.

12. Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ду

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид²:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; t_M – моторное время;

.

Требуется найти функции и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона t_k и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = t_k: .

13. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги и расходом топлива, , которые обеспечат максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

14. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Программа управления задана в параметрической форме .

Требуется найти параметры , , при которых достигается максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.