2.2. Дифференциал.
Приближенные вычисления при помощи дифференциала.
Уравнение касательной и нормали
Понятие дифференциала
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в интервале (a; b), т. е. суще- ствует предел
lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
= f 0 (x) .
Тогда из определения дифференцируемой функции следует, что
∆y = f 0 (x) ∆x + o (∆x) . (36) Первое слагаемое в формуле (36) называется главной частью приращения
функции, линейной относительно приращения аргумента.
Определение 29 . Главная линейная часть приращения функции (36) на- зывается дифференциалом (первым дифференциалом) функции y = f (x) в точке x и обозначается dy или df . Дифференциал независимого аргумента x про- извольное приращение ∆x, т. е. dx = ∆x.
Таким образом,
dy = df = f 0 (x) dx, (37)
отсюда следует, что
dy f 0 (x) = . dx
Приближенные вычисления при помощи дифференциала
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции y = f (x). Так как f 0 (x0) = tg α, то дифференциал dy = f 0 (x0) dx равен величине отрезка RT , т. е. дифференциал dy функции y = f (x) в точке x0 равен прира- щению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке x0.
27
y
0 x
Разность между приращением ∆y функции y = f (x) и приращением ордина-
ты касательной dy является бесконечно малой функцией при ∆x → 0, т. е. при
достаточно малых значениях dx приращение функции приближенно равно диф-
ференциалу
∆y ≈ dy.
Отсюда получаем формулу для приближенного вычисления значения функции
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) ∆x. (38) П р и м е р 13. Вычислить √5.
Решение. Пусть y = √x, x = 4, ∆x = 1, тогда по формуле (38) имеем
√ √ 1 1
≈ 4 + · 1 = 2 + = 2, 25.
2√4 4
Свойства дифференциала
1) dC = 0,
2) d (C f (x)) = C df (x),
3) d (f (x) ± g (x)) = df (x) ± dg (x),
4) d (f (x) g (x)) = f (x) dg (x) + g (x) df (x),
5) d
f (x)
=
g (x)
g (x) df (x) − f (x) dg (x)
g2 (x) .
u
28
Уравнение касательной и нормали
y
0 x
Уравнение секущей M0M , проходящей через точки M0 (x0, f (x0)) и
M (x, f (x)) графика функции y = f (x), имеет вид
f (x) − f (x0)
Y = f (x0) +
x − x0
(X − x0) , (39)
где через X и Y обозначены абсцисса и ордината точки на секущей. При x →
x0 угловой коэффициент
f (x) − f (x0)
x − x0
секущей стремится к f 0
(x0). Поэтому
предельное положение секущей определяется уравнением
Y = f (x0) + f 0 (x0) (X − x0) .
Прямая, заданная уравнением (23), называется касательной к графику функции y = f (x) в точке x0. Угловой коэффициент f 0 (x0) касательной равен тангенсу угла α между касательной и положительным направлением оси Ox:
f 0 (x0) = tg α.
Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x0 имеет вид
y = f (x0) + f 0 (x0) (x − x0) . (40)
Нормалью к графику функции y = f (x) в точке x0 называется прямая, перпендикулярная касательной в этой точке. Уравнение нормали имеет вид
1
)
0
(x − x0) . (41)
29