- •1. Теория пределов
- •1.3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.
- •1.5. Непрерывность функций в точке, непрерывность
- •X, c постоянная величина. Тогда дифференцируемы в этой точке функции
- •2.2. Дифференциал.
- •2.3. Производные высших порядков. Производные высших порядков неявных функций или функций, заданных параметрически.
- •2.4. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
- •2.5. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя, формулы Тейлора
- •2.6. Исследование функций с помощью производных.
1.3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.
Техника вычисления пределов
Пусть y = f (x) функция, определенная на множестве D.
Определение 11 . Число A называется пределом функции y = f (x) при x → a, если для любого положительного числа ε существует положитель- ное число δ = δ (ε) такое, что для всех x ∈ D, удовлетворяющих неравенству
0 < |x − a| < δ, выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.
Предел функции y = f (x) при x → a обозначается
lim f (x) = A.
x→a
9
Для записи определения в символьном виде введем кванторы всеобщно- сти ∀ и существования ∃. Символ ∀ означает "любой", "для всех", символ ∃ "существует".
Используя введенные кванторы, перепишем определение 11 следующим образом
⇔
x→a
∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε) .
Дадим определение предела функции y = f (x) в частных случаях.
∞ ⇔
x→a
∀M > 0∃δ = δ (M ) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| > M ) .
lim
x→∞
f (x) = A ⇔ (12)
∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 : (∀x ∈ D : |x| > R ⇒ |f (x) − A| < ε) .
lim
x→∞
f (x) = ∞ ⇔ (13)
∀M > 0∃R = R (M ) > 0 : (∀x ∈ D : |x| > R ⇒ |f (x)| > M ) .
10
⇔
x→0
∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε) .
⇔
x→a
∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| < ε) .
⇔
x→0
∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x| < δ ⇒ |f (x)| < ε) .
Пусть функция y = f (x) определена в интервале (a; b).
Определение 12 . Число A называется правосторонним (левосторон- ним) пределом функции y = f (x) при x → a (x → b), если для любого поло- жительного числа ε существует положительное число δ = δ (ε) такое, что для всех x ∈ (a; b), удовлетворяющих условию
0 < x − a < δ (0 < b − x < δ) ,
выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.
Для правостороннего (левостороннего) предела функции y = f (x) исполь-
зуются следующие обозначения:
lim
x→a+0
f (x) = A (правосторонний предел);
lim
x→b−0
11
f (x) = A (левосторонний предел).
Правосторонние и левосторонние пределы называются односторонними
пределами.
Основные теоремы о пределах
Теорема 5. Пусть функции f (x) и g (x) определены на множестве D, и пусть существуют пределы этих функций при x → a: lim f (x) = b, lim g (x) = c.
x→a
x→a
f (x)
Тогда существуют пределы при x → a функций f (x) ± g (x), f (x) · g (x),
g (x)
(в последнем случае предполагается, что g (x) = 0 при x ∈ D и c = 0), при этом
выполняются равенства:
a) lim (f (x) ± g (x)) = lim f (x) ± lim g (x) = b ± c;
x→a
x→a
x→a
b) lim f (x) · g (x) = lim f (x) · lim g (x) = b · c;
x→a
c) lim
f (x)
x→a
lim f (x) b
= x→a = .
x→a
x→a g (x)
lim g (x) c
x→a
d) lim c = c, где c = const.
x→a
Теорема 6. Пусть функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве
D. Тогда
a) если f (x) ≤ g (x) при x ∈ D и существуют пределы lim f (x), lim g (x),
то
lim f (x) ≤ lim g (x) ;
x→a
x→a
x→a
x→a
x
a
→
lim h (x), причем lim f (x) = lim h (x) = b, то существует предел lim g (x) и
x→a
x→a
x→a
lim f (x) = lim g (x) = lim h (x) = b.
x→a
x→a
x→a
x→a
Теорема 7. Функция f (x), определенная на множестве D, имеет предел
∈
x→a
левосторонний пределы lim
x→a+0
f (x), lim
x→a−0
f (x) и эти пределы равны A.
Теорема 8. Функция y = f (x), имеющая предел при x → a, ограничена в
некоторой окрестности точки a.
Теорема 9. Пусть существует предел функции f (x) при x → a
lim f (x) = A
x→a
и функция f (x) ограничена в некоторой окрестности точки a
M < f (x) < N.
Тогда
12
M ≤ A ≤ N.
−
Техника вычисления пределов
x2 − x
П р и м е р 5. Вычислить lim
x→3
.
x + 2
Решение.
lim
x→3
x2 x
=
x + 2
−
= .
3 + 2 5
−
x→1
x2 x
.
x + 2
Решение.
−
x→1
x2 x
=
x + 2
12 − 1
1 + 2
0
= = 0.
3
П р и м е р 7. Вычислить lim
x→−2
x2 x
−
x + 2
Решение.
lim
x→−2
−
=
x + 2
2
−
6
= 0 = ∞.
П р и м е р 8. Вычислить lim
x→∞
x2 √x + 2
.
2 − 4x2
Решение.
lim
x→∞
x2 − √x + 2
2 − 4x2
= ∞ =
∞
x2
x 2
1 − 1 + 2
= lim
x2 − x2 + x2 = lim
x 2 x =
x→∞ 2
4x2
3 2
x→∞ 2 4
x2 − x2
1 − 0 + 0 1
x2 −
−
0 − 4 4
−
x→3
x3 27
.
x2 − 9
Решение.
−
0
= =
x→3
x2 − 9
0
= lim
x→3
(x − 3) x2 + 3x + 9
·
= lim
x→3
x2 + 3x + 9
=
x + 3
= lim
x→3
32 + 3 3 + 9 27 9
= = .
3 + 3 6 2
13
1.4. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Вычисление пределов с помощью
эквивалентностей
Первый замечательный предел
lim
x→0
sin x
x
= 1. (17)
Доказательство. Пусть x > 0. Рассмотрим треугольник 4OAB, сектор
OAB и треугольник 4OAC.
C
B
0 A
или
На рисунке видно, что
S4OAB ≤ SOAB ≤ S4OAC
≤
2
1 R2x
≤
1 R2 tg x, (18)
2
где R радиус окружности, x величина угла ∠AOB.
Так как x > 0, то sin x > 0. Разделив неравенство (18) на
1 R2 sin x, получим
2
x 1
или
1 ≤ sin x ≤ cos x
sin x
cos x ≤
x ≤ 1.
14
Так как lim cos x = lim 1 = 1, то из теоремы 6(b) следует, что
x→0
x→0
lim
x→0
sin x x
= 1.
Если x < 0, то sin x < 0. Тогда
Так как −x > 0, то
sin x
=
x
− sin x =
−x
sin (−x) .
−x
lim
x→0
sin x
x
= lim
x→0
sin (−x)
−x
= 1.
Следствия из первого замечательного предела.
arcsin x
1) lim
x→0
x
tg x
= 1;
2) lim
x→0
= 1;
x
3) lim
x→0
arctg x
x
= 1.
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел имеет три формы:
1) при x → ∞
2) при x → 0
lim
x→∞
1 x
1 +
x
= e; (19)
3) при x → x0 α (x) → 0
1
lim (1 + x) x = e; (20)
x→0
lim
α(x)→0
(1 + α (x))α(x) = e. (21)
Следствия из второго замечательного предела.
ln (1 + x)
1) lim
x→0
= 1;
x
2) lim
x→0
3) lim
x→0
loga (1 + x)
−
= 1;
x
ax − 1
1
= ;
ln a
4) lim
x→0
= ln a.
x
15
Бесконечно малые величины
Определение 13 . Функция α (x) называется бесконечно малой величи- ной при x → a, если ее предел равен нулю:
lim α (x) = 0.
x→a
Если
lim f (x) = A,
x→a
то f (x) − A есть бесконечно малая величина, т. е. функцию f (x) можно пред-
ставить в виде
f (x) = A + α (x) ,
где α (x) бесконечно малая величина при x → a.
Свойства бесконечно малых величин:
1. Если α (x) и β (x) бесконечно малые величины при x → a, то α (x)±β (x)
является бесконечно малой величиной при x → a.
2. Если α (x) и β (x) бесконечно малые величины при x → a, то α (x) β (x)
является бесконечно малой величиной при x → a.
3. Произведение бесконечно малой величины при x → a и ограниченной
функции в окрестности точки a есть бесконечно малая величина при x → a.
Определение 14 . Две бесконечно малые величины α (x) и β (x) при
x → a имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел,
отличный от нуля, т. е.
lim
β (x)
= k = 0.
x→a α (x)
Определение 15 . Порядок бесконечно малой величины β (x) выше по- рядка бесконечно малой величины α (x) при x → a имеют одинаковый порядок,
если
lim
β (x)
= 0.
x→a α (x)
Обозначение: β (x) = o (α (x)) при x → a.
Определение 16 . Бесконечно малая величина β (x) имеет порядок n от- носительно бесконечно малой величины α (x) при x → a имеют одинаковый по-
рядок, если
lim
β (x)
= k = 0.
x→a αn (x)
Обозначение: β (x) = O (α (x)) при x → a.
16
Бесконечно большие величины
Определение 17 . Функция f (x) называется бесконечно большой вели- чиной при x → a, если ее предел равен бесконечности:
∞
x→a
Свойства бесконечно больших величин:
1. Если f (x) и g (x) бесконечно большие величины при x → a, то f (x) +
g (x) является бесконечно большой величиной при x → a.
2. Если f (x) и g (x) бесконечно большие величины при x → a, то f (x) g (x)
является бесконечно большой величиной при x → a.
Эквивалентные функции
Определение 18 . Функции α (x) и β (x) называются эквивалентными
при x → a, если предел отношения этих функций при x → a равен 1:
α (x)
lim
x→a β (x)
= 1.
Обозначение: α (x) ∼ β (x) при x → a.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при x → 0:
sin α ∼ α, tg α ∼ α, arcsin α ∼ α, arctg α ∼ α,
α2
1 − cos α ∼ 2 ,
eα − 1 ∼ α,
aα − 1 ∼ α ln a,
ln (1 + α) ∼ α, α
loga (1 + α) ∼ ln a ,
(1 + α)n − 1 ∼ nα,
n
2
17
Вычисление пределов с помощью эквивалентностей
Иногда при вычислении пределов бывает удобно заменить функцию на эквивалентную ей. Рассмотрим следующие примеры.
sin x2 − x
П р и м е р 10. Вычислить lim
x→1
x2 − 1
.
0
Решение. При x → 1 имеем неопределенность 0 :
lim
x→1
sin x2 − x
x2 − 1
0
= .
0
Так как при x → 1 аргумент синуса x2 − x → 0, то
sin x2 − x ∼ x2 − x.
Тогда, заменив функцию sin x2 − x на эквивалентную ей функцию x2 − x, по- лучим
lim
sin x2 − x
−
x2 x
=
x→1
x2 − 1
x→1 x2 − 1
= lim x (x − 1)
x
= lim =
x→1 (x − 1) (x + 1)
x→1 x + 1
1 1
= = .
1 + 1 2
П р и м е р 11. Вычислить lim
x→0
√3 1 + x2 − 1
x3 + x2 .
0
Решение. При x → 0 имеем неопределенность 0 :
lim
x→0
√3 1 + x2 − 1
x3 + x2
0
= .
0
Так как при x → 0 функция
√3 1 + x2 − 1 эквивалентна функции
x2
, то
lim
√3 1 + x2 − 1
= lim
3
x 2
3 =
x→0
x3 + x2
x→0 x3 + x2
x2
= lim
1
= lim =
x→0 3x2 (x + 1)
x→0 3 (x + 1)
1 1
= = .
3 (0 + 1) 3
П р и м е р 12. Вычислить lim
x→0
18
ln 1 − 5 sin2 x
x2 .
Решение. При x → 0 имеем неопределенность
0
:
0
lim
x→0
ln 1 + −5 sin2 x
x2
0
= .
0
Так как при x → 0 функция −5 sin2 x → 0, то
ln 1 + −5 sin2 x ∼ −5 sin2 x
и
lim
x→0
ln 1 + −5 sin2 x
x2
= lim
x→0
−5 sin2 x
x2 =
2
= lim −5x
= lim (−5) = −5.
x→0 x2
x→0