3. Принятие решений на основе выборочной информации

В разделах 1 и 2 рассмотрен процесс выбора оптимального решения на основе ана­лиза нескольких альтернатив. Для этого были предложено несколько критериев, а также введено понятие ожидаемой стоимости полной информации. На основе прошлого опыта или субъективных оценок для каждого критерия были указаны вероятности каждого варианта событий. Применим теорему Байеса, позволяющая уточнить ап­риорную вероятность на основе вновь поступившей информации.

Поскольку выбор акций для ин­вестирования сильно зависит от экономических условий, необходимо сделать предва­рительный прогноз на следующий год. Предположим, что прогноз ограничивается лишь двумя ситуациями — рост экономики (F₁) и спад или застой (F₂). Прошлый опыт показывает, что в условиях спада предсказания экономического роста сбываются в 20% случаев, в условиях стабильной экономики — в 40%, в условиях умеренного роста в 70%, и, наконец, в условиях экономического бума — в 90% случаев. Итак, если про­гнозируется экономический рост, вероятности разных экономических ситуаций необ­ходимо вычислить заново, используя теорему Байеса. Введем следующие обозначения:

E₁ - спад, Е₂ - стабильная экономика,

Е₃ - умеренный рост,

Е₄ - экономический бум,

F₁ - экономический рост,

F₂ - спад или застой.

Кроме того, сказанное выше можно сформулировать в виде формул:

Применим теорему Байеса и вычислим следующие вероятности:

Результаты вычисления этих вероятностей приведены в табл. 4 и на рис. 2.

Таблица 5. Результаты вычисления вероятностей по теореме Байеса

при выборе акций

Событие, Еi	Априорная вероятность, Р(Еi)	Условная вероятность, Р(F1|Еi)	Совместная вероятность, Р(F1|Еi) Р(Еi)	Уточненная вероятность, P(Ei|F1)
Е1 = Спад	0,10	0,20	0,02	0,02/0,57= 0,035
Е2= Стабильная экономика	0,40	0,40	0,16	0,16/0,57 = 0,281
E3 = Умеренный рост	0,30	0,70	0,21	0,21/0,57 = 0,368
E4 = Экономический бум	0,20	0,90	0,18	0,18/0,57 = 0,316
			0,57

Рис. 2. Дерево решений при выборе акций на основе уточненных вероятностей

Поскольку для выбора оптимального решения на основе оценки ожидаемой прибы­ли использовались прежние вероятности, приведенные в табл. 3, ожидаемую при­быль необходимо вычислить заново, используя уточненные вероятности из табл. 5. Результаты новых вычислений приведены в табл. 6.

Таблица 6. Ожидаемая прибыль для каждого из альтернативных вариантов действий при покупке акций

Альтернативные планы
Событие, Еi	Рi	А, долл.	хijРi	Б, дол.	хijРi
Спад Стабильная экономика Умеренный рост Экономический бум	0,035 0,281 0,368 0,316	30 70 100 150	30×0,035= 1,05 70×0,281 = 19,67 100×0,368 = 36,80 150×0,316=47,40	-50 30 250 400	-50×0,035 = -1,755 30×0,281 =8,43 250×0,368 = 92,00 400×0,316 = 126,40
			EMV(A) = 104,92		EМV(В) = 225,08

Итак, ожидаемая прибыль от покупки акций компании А равна 104,92 долл., а от по­купки акций компании Б — 225,08 долл. Используя этот критерий, следует признать, что покупка акций компании Б по-прежнему является наиболее выгодной. Однако это реше­ние следует перепроверить, воспользовавшись критерием "доходность/риск" на основе уточненных вероятностей.

Используя уравнения (1) и (2) и учитывая, что EMV(A) = = 104,92 для акций компании А получаем следующий результат.

Стандартное отклонение доходности акций компании А равно

Для акций компании Б величина EMV(A) равна . Дисперсия доходности акций компании Б равна

Стандартное отклонение доходности акций компании Б равно .

Вычислив стандартное отклонение доходности акций, можно определить коэффи­циент вариации прибыли:

Коэффициент вариации показателя доходности акций компании Б равен следующей величине:

Таким образом, как и в предыдущих вычислениях, доходность акций компании Б ко­леблется намного сильнее, чем доходность акций компании A.

Отношение "доходность/риск" для акций компании A равно 104,92/34,50 = 3,041, а для акций компании Б — 225,08/152,445 = 1,476.

Итак, по отношению к величине риска, выраженной с помощью стандартного от­клонения, доходность акций компании А намного выше, чем доходность акций компа­нии Б. Руководствуясь критерием "доходность/риск", при покупке следует предпочесть акции компании А.

Excel: расчет уточненных вероятностей и критерий принятия решений

Для расчет уточненных вероятностей, по теореме Байеса, необходимо продолжив работу с файлом labPR.xls и в таблицу вычислений вероятностей по теореме Байеса вписать условные вероятности(и только условные вероятности) и Excel сам рассчитает уточненные вероятности и построит таблицу критериев принятии решений.

Ход работы

1. Построить дерево решений и рассчитать таблицу выигрышей и альтернативную таблицу потерь

2. Рассчитать критерии принятия решений

   1. Ожидаемая прибыль

   2. Ожидаемый размер упущенной выгоды

   3. Критерий «доходность/риск»

   4. Дисперсия

   5. Стандартное отклонение

   6. Коэффициент вариации

3. Определить оптимальную стратегию на основе выборочной информации(рассчитать уточненные вероятности и повторить пункт 2 для новых вероятностей)