Приклади розв'язування задач Механіка

Задача 1. Лiтак летить горизонтально на висотi 1500 м зi швидкiстю 200 м/с. Iз гармати роблять пострiл по лiтаку у ту саму мить, коли він знаходиться над гарматою. Нехтуючи опором повiтря, знайти, пiд яким кутом до горизонту має бути зроблений пострiл, щоб влучити в лiтак. Початкова швидкiсть снаряду 100 м/с.

Розв'язок

h = 1500 м v0 = 100 м/с v = 200 м/c g = 9,8 м/с2	Вважатимемо, що гармата знаходиться на початку координат. Рух снаряду можна розкласти на горизонтальний  рiвнoмipний i вертикальний  рiвнозмiнний рух , якi описуються рiвняннями: (1)
, t  ?

, (2)

а рух лiтака  вiдповiдно рiвняннями:

(З)

. (4)

У мить влучання снаряду в лiтак координати цих тiл спiвпадають:

i .

Прирiвнюючи частини, що праворуч рiвнянь (1) i (3), а також (2) i (4), одержимо

; (5) . (6) Із рiвняння (5) знаходимо: , або .

Кут, пiд яким треба зробити пострiл, дорiвнює 77 .

Для визначення часу польоту снаряда до влучання в цiль перепишемо рiвняння (6)

.

Розв'язання цього (квадратного) рiвняння

.

Визначимо розмiрнiсть шуканого часу за знайденим спiввiдношенням:

.

Розмiрнiсть є вiдповідною . Знайдемо числове значення t:

Отже, маємо два значения: t₁ = 177 c i t₂ = 1,6 с.

Два значення t зумовлено можливiстю влучання в лiтак під час руху снаряду при підійманні (t₂) i при його опусканнi (t₁) пiсля проходження через найвищу точку траєкторiї.

Задача 2. Колесо радiусом 0,1 м обертається так, що залежнiсть кута повороту радiусу вiд часу описується рiвнянням  = А + Вt + Сt³ , де А = 4 рад; В = 1,4 рад/с i С = 5 рад/с². Знайти тангенцiальне, нормальне i повне прискорення точок на ободi колеса в момент t = 0,2 с.

Розв'язок

R = 0,1 м  = А+Вt+Сt3 А = 4 рад В = 1,4 рад/с С = 5 рад/с3 t = 0,2 с	Знайдемо залежнiсть вiд часу кутової швидкостi : . (1) Для кутового прискорення одержуємо (2) Згiдно з формулами (1) , (2) і умовою задачi шуканi розмiрностi дорівнюють:
ат , аn , а  ?

[ω] = рад/с + (радс²)/с³ = рад/с + рад/с = рад/с,

[ß] = (радс)/с³ = рад/с².

Числовi значення w i β, згiдно (1) i (2) , дорiвнюють

ω = 1,4 + 1,5 ^. 0,04 = 2,0 рад/с , β = 6,5^.0,2 = 6,0 рад/с².

Визначаємо тангенцiальне а_т , нормальне а_n i повне а прискорення:

а_n = ω^2.R = (2,0)^2. 0,1 = 0,4 м/с² ;

а_т = β^.R = 6,0 ^. 0,1 = 0,6 м/с;

.

Задача 3. До нитки причеплений вантаж масою 1 кг. Знайти натяг нитки, якщо iї пiдіймати з прискоренням 5 м/с² або опускати з тим же прискоренням.